Komplexrechnung

24.06.2015, 14:46

Chloe2015

Komplexrechnung

Problem:

Verstehe die Angabe nicht, vielleicht kanns mir jmd in normalen Worten erklären.

in den Klammern [L: ...] steht immer die Lösung.

Aber warum hab ich x in der Angabe und die Lösung ist Imaginär.

Idee:

...

24.06.2015, 14:56

Gast11022013

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Leider verstehe ich deine Frage nicht.
Du sollst doch lediglich diese Gleichungen lösen, welche scheinbar nur komplexe Lösungen besitzen.

24.06.2015, 15:04

Chloe2015

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a.)
$\begin{eqnarray*} (3+2x)^2 = (2+x) \cdot (9x-6)+146 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (3+2x)^2 = 18x+9x^2-12-6x+146 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4x^2+12x+9 = 12x+9x^2+134 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4x^2+9 = 9x^2+134 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -5x^2 = 125 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 = -25 \end{eqnarray*}$

Und dann die Wurzel ziehen dann kommt das raus.

$\begin{eqnarray*} x = \sqrt{(25)} \cdot \sqrt{(-1)} = \pm 5j \end{eqnarray*}$

Also so ?

24.06.2015, 15:28

Gast11022013

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Beantwortet deine Rechnung nicht die Frage von selbst?

24.06.2015, 15:45

Chloe2015

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Und für die Probe müsste ich dann einmal für x = 5j einsetzen und einmal für x = -5j.

Oder geht das auch irgendwie in einem Druchgang ?

24.06.2015, 16:09

Dopap

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eine Probe ist nicht notwendig, da Äquivalenzumformungen vorliegen.

Nur, der Schluss gefällt mir so nicht. Insbesondere löst man quadratische Gleichungen nicht mit "Wurzelziehen".

$\begin{eqnarray*} x^2&=&-25 \Leftrightarrow<br /> x^2&=&j^2 25 \Leftrightarrow <br /> x&=&\pm j 5 <br /> \end{eqnarray*}$

die Schreibfigur $\begin{eqnarray*} j=\sqrt {-1} \end{eqnarray*}$ sollte man vermeiden.

24.06.2015, 16:46

Chloe2015

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Warum sollte man das vermeiden ?, genau so ist doch j definiert.

hm... wie denn sonst wenn nicht mit Wurzeln ziehen ?

Mit pq-Formel ?

24.06.2015, 16:49

Dopap

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Zitat:

Original von Chloe2015
Warum sollte man das vermeiden ?, genau so ist doch j definiert.

nein. Die Definition ist: $\begin{eqnarray*} j^2=-1 \end{eqnarray*}$

Zitat:

hm... wie denn sonst wenn nicht mit Wurzeln ziehen ?

Mit pq-Formel ?

genau so !

25.06.2015, 20:53

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@Dopap:

Zitat:

Die Definition ist: $\begin{eqnarray*} j^2=-1 \end{eqnarray*}$

Das ist auch nicht sauber, da mit $\begin{eqnarray*} j^2=-1 \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} (-j)^2=-1 \end{eqnarray*}$ gilt. Man kann also $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -j \end{eqnarray*}$ nicht voneinander unterscheiden, d.h. Deine "Definition" erfuellt nicht die Bedingung der Wohldefiniertheit. Augenzwinkern

25.06.2015, 21:25

Dopap

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aber besser wie die Wurzel, die nur für positive Argumente definiert ist.

25.06.2015, 21:49

mYthos

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@rg
Dann schreibe bitte auch, wie es deiner Meinung nach richtig wäre!

Wir sollten nicht "päpstlicher sein als der Papst", die imaginäre Einheit i (oder j) ist definitionsgemäß jene komplexe Zahl, deren Quadrat -1 ist.
Genauer gesagt, die Lösungen der quadratischen Gleichung

$\begin{eqnarray*} x^2 = -1 \end{eqnarray*}$ sind $\begin{eqnarray*} x_1 = i \vee x_2 = -i \end{eqnarray*}$

Die Vorzeichen entstehen erst durch die Auflösung der quadratischen Gleichung, der imaginären Einheit selbst kommt also kein Vorzeichen zu, dieses ist den Koeffizienten (Real-, Imaginärteil) zugeordnet.

Also ist i selbst ohne Vorzeichen.

Eindeutigkeit gibt es bei der vektoriellen Darstellung in der komplexen Ebene, i = (0; 1), -i = (0; -1), in der Polarform ebenfalls, i = (1; pi/2), -i = (1; 3pi/2) [auch -i = (1; -pi/2)]

mY+

25.06.2015, 22:42

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Zitat:

Original von mYthos
@rg
Dann schreibe bitte auch, wie es deiner Meinung nach richtig wäre!

Na so, wie es in den Buechern steht. Wenn man die komplexen Zahlen als Paare reeller Zahlen einfuehrt, dann ist $\begin{eqnarray*} j:=(0,1) \end{eqnarray*}$ . Wenn man $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}:=\mathbb{R}[X]/(X^2+1) \end{eqnarray*}$ setzt, dann ist $\begin{eqnarray*} j:=[X] \end{eqnarray*}$ . In beiden Faellen gilt $\begin{eqnarray*} j^2=-1 \end{eqnarray*}$ und man kann $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} -j \end{eqnarray*}$ unterscheiden. Das ist schon aus Prinzip von Bedeutung, weil ohne Wohldefiniertheit eine Definition keine Definition ist.

Dass $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ kein Vorzeichen habe, reicht auch nicht als Ausrede: Komplexe Zahlen haben sowieso kein Vorzeichen, $\begin{eqnarray*} -j \end{eqnarray*}$ ist das additiv Inverse zu $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ . Wenn $\begin{eqnarray*} j\ne0 \end{eqnarray*}$ sein soll, dann muss $\begin{eqnarray*} j\ne-j \end{eqnarray*}$ gelten. Dann kann ich aber $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ nicht durch eine Gleichung definieren, die tatsaechlich zwei verschiedene Loesungen hat.

25.06.2015, 23:18

Dopap

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wenn man zum ersten mal mit imaginären Zahlen arbeitet, dann hat man zunächst reinquadratische Gleichungen, die man jetzt einfach so mal lösen kann, wenn
man i^2=-1 einführt, was eigentlich gut funktioniert.
Jedenfalls ist das besser als die Wurzel mit negativem Argument. Sogar Schüler fragen manchmal nach, w.g. Definitionsbereich der Wurzel.

25.06.2015, 23:37

Captain Kirk

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@rg:

Zitat:

Na so, wie es in den Buechern steht.

Ja und in den meisten steht: Man nehme eine der Nullstellen von X²+1.

Zitat:

Wenn man die komplexen Zahlen als Paare reeller Zahlen einfuehrt, dann ist $\begin{eqnarray*} j:=(0,1) \end{eqnarray*}$

Man kann genauso j:=(0,-1) nehmen. Ändert auch nichts an den entstehenden Rechnungen.

Zitat:

dann ist $\begin{eqnarray*} j:=[X] \end{eqnarray*}$ .

oder genauso gut: j:=[-X]. Auch da kann man j von -j unterscheiden.

Zitat:

Dann kann ich aber $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ nicht durch eine Gleichung definieren, die tatsaechlich zwei verschiedene Loesungen hat

Was ist mit komplexen Einheitswurzeln? Die sind auch nicht eindeutig und durch eine Gleichung definiert. Oder Erzeuger von zyklischen Gruppen. Oder Basen von Vektorräumen.

Zitat:

weil ohne Wohldefiniertheit eine Definition keine Definition ist.

In welchem Sinne soll das gelten? Definitiv nicht im Sinne von Existenz und Eindeutogekeit.

26.06.2015, 00:31

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@Captain Kirk:

ad 1: Bevor ich keinen Erweiterungskoerper von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ konstruiert habe, hat $\begin{eqnarray*} X^2+1 \end{eqnarray*}$ da keine Nullstellen. Ich kann mir also schon gar keine einfach so raussuchen.

ad 2,3: Die Konjugationsabbildung ist ein Koerperautomorphismus von $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ . Natuerlich kann ich diese Tatsache schon bei der Konstruktion von $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ benutzen. Es aendert aber auch nichts an der Sache in meinem Sinne.

ad 4, 5: Soll $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ durch die Gleichung $\begin{eqnarray*} j^2=-1 \end{eqnarray*}$ eindeutig charaktersiert sein? Falls nein, dann moege mir bitte jemand die exakte Definition von $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ geben. Im mathematischen Sinne steht mir hier eine Antwort zu! Falls aber ja, so argumentiere ich folgendermassen: Mit $\begin{eqnarray*} j^2=-1 \end{eqnarray*}$ gilt auch $\begin{eqnarray*} (-j)^2=-1 \end{eqnarray*}$ und wegen der Eindeutigkeit der Definition folgt $\begin{eqnarray*} j=-j \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} j=0 \end{eqnarray*}$ . Es ist aber $\begin{eqnarray*} 0^2\ne-1 \end{eqnarray*}$ . Widerspruch.

26.06.2015, 00:47

Captain Kirk

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Zitat:

Falls nein, dann moege mir bitte jemand die exakte Definition von $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ geben

Die Antwort ist nein.
Und die exakte Definition ist: i (bzw. j) ist eine der Nullstellen von X²+1.

Und dein ad 1 ist sinnfrei. Wenn X²+1 keine Nullstellen hat existiert i nicht.

26.06.2015, 01:37

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Zitat:

Original von Captain Kirk
Und die exakte Definition ist: i (bzw. j) ist eine der Nullstellen von X²+1.

Welche von beiden, Du Witzbold! i kann ja nicht beide gleichzeitig bezeichnen, sonst waere i mehrdeutig. Steht bei Dir i fuer zwei oder mehrere Zahlen, so wie die von Dir ins Feld gefuehrten Einheitswurzeln, oder ist das eine wohldefinierte komplexe Zahl?

Zitat:

Wenn X²+1 keine Nullstellen hat, existiert i nicht.

Eben! Und wenn ich dann i existieren lasse, dann kann i nicht beide, sondern eben nur eine Nullstelle bezeichnen!

Du sollst hier keine ontologische Erklaerung ueber das Wesen von i abgeben, sondern einfach nur eine selbstredend eindeutige und mathematische Definition.

26.06.2015, 02:03

Captain Kirk

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Zitat:

Du Witzbold!

Bis jetzt hatte ich es nur befürchtet.
Sorry Leute fürs Trollfüttern.

26.06.2015, 02:16

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Zitat:

Original von Captain Kirk

Zitat:

Du Witzbold!

Bis jetzt hatte ich es nur befürchtet.
Sorry Leute fürs Trollfüttern.

Gute Methode, ein Thema, bei dem man nicht sehr scharfsinnig war, zu beenden. Ok, lassen wir's. Hat eh keinen Sinn und passt auch nicht in dieses Forum.

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