Kurvenintegral - Pfaffsche Form

24.06.2015, 17:53

gandalf24

Kurvenintegral - Pfaffsche Form

Hey!
Ich muss ein Kurvenintegral für folgende Kurve und Pfaffsche Form berechnen:

$\begin{eqnarray*} \omega = sin x dx + (x^2 + y^2)dy \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \gamma : [0,2] \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \gamma(t) \end{eqnarray*}$ = (t,0) für 0 <= t <= 1 und $\begin{eqnarray*} \gamma(t) \end{eqnarray*}$ = (1,t-1) für 1<= t [latex] <= 2

Also im Prinzip weiß ich, wie die Berechnung funktioniert, doch hier bin ich mir unsicher, weil es zwei Kurven gibt. Integrier ich dann einmal von 0 bis 1 und einmal von 1 bis 2 für die jeweiligen Kurven und addiere die beiden Integrale?

Vielleicht kann mir da jemand auf die Sprünge helfen und am Ende mein Endergebnis abgleichen.

Vielen Dank!

24.06.2015, 18:47

Che Netzer

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RE: Kurvenintegral - Pfaffsche Form

Zitat:

Original von gandalf24
Integrier ich dann einmal von 0 bis 1 und einmal von 1 bis 2 für die jeweiligen Kurven und addiere die beiden Integrale?

Genau das war es schon.

Im Grunde hast du aber nicht zwei Kurven, sondern nur eine, welche bloß stückweise definiert ist.

24.06.2015, 20:53

gandalf24

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RE: Kurvenintegral - Pfaffsche Form
Für 0 bis 1 würde ich dann definieren:

$\begin{eqnarray*} \omega_{\gamma} \end{eqnarray*}$ = sin t * 1 + (t^2 + 0^2) * 0 = sin t

Also habe für x t eingesetzt, für dx 1 usw.

Dann wäre das Ergebnis für das Integral von 0 bis 1:
1 - cos(1)

Für 1 bis 2:

$\begin{eqnarray*} \omega_{\gamma} \end{eqnarray*}$ = t^2 - 2t + 2

und dementsprechend als Integral:

4/3

Also als Summe beider Integrale:

7/3 - cos(1)

Ich bin mir da vor allem wegen cos(1) nicht sicher, ob ich nicht irgendwo einen Fehler gemacht habe..

24.06.2015, 21:41

Che Netzer

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RE: Kurvenintegral - Pfaffsche Form
Dürfte allerdings passen.

25.06.2015, 10:35

gandalf24

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RE: Kurvenintegral - Pfaffsche Form
Danke dir!

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Kurvenintegral - Pfaffsche Form

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