Lagrange Gleichungssystem mit NB lösen

24.06.2015, 20:49	Cornholio	Auf diesen Beitrag antworten »
Lagrange Gleichungssystem mit NB lösen Meine Frage: Guten Abend zusammen, ich stehe vor dem Problem dass ich folgende Aufgabe einfach nicht gelöst bekomme: $\begin{eqnarray} f(x,y)= -2x²+y²+2x-2y+3 \end{eqnarray}$ Nebenbedingung: $\begin{eqnarray} g(x,y)= 4x²-16x+y²-2y+15 \end{eqnarray}$ Das Aufstellen der Lagrange Gleichung und bilden der partiellen Ableitungen ist unproblematisch, jedoch weiss ich einfach nicht wie ich das Gleichungssystem auflösen soll. Jeder meiner bisherigen Versuche ist einfach gescheitert. Meine Ideen: Lagrange Gleichung aufgestellt: $\begin{eqnarray} L(x,y,\lambda)= -2x²+y²+2x-2y+3+\lambda (4x²-16x+y²-2y+15) \end{eqnarray}$ Partielle Ableitungen gebildet: $\begin{eqnarray} Lx(x,y,\lambda)= -4x+2+8\lambda x-16 \lambda \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Ly(x,y,\lambda )= 2y-2+2\lambda y-2\lambda \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} L\lambda (x,y,\lambda )= 4x²-16x+y²-2y+15 \end{eqnarray}$ Lösen des Gleichungssystems...?
24.06.2015, 22:54	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Ableitungen sind wohl Null zu setzen, oder? Schreibe das System also $\begin{eqnarray} 2x - 1 = 4 \lambda(x-2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -y + 1 = \lambda(y-1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4x^2 - 16x + y^2 - 2y + 15 = 0 \end{eqnarray}$ --------------------------------------------------- $\begin{eqnarray} L\lambda(..) \end{eqnarray}$ ist ja nichts anderes als die Nebenbedingung, diese muss ebenfalls auf Null gebracht werden. Nun dividiere die beiden ersten Gleichungen, damit fällt der Parameter $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ heraus. Mit der Beziehung für x, y geht man dann in die Nebenbedingung. mY+
24.06.2015, 23:00	Nullmenge	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagrange Gleichung mit NB Lösen (Partielle Ableitungen sind nicht nach einzelner Variable auflös Hallo, zunächst würde ich vorschlagen, das Lambda ausgeklammert zu lassen und die ersten partiellen Ableitungen 0 zu setzen: $\begin{eqnarray} 0=-4x+2+\lambda(8x-16) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0=2y-2+\lambda(2y-2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0=4x^2-16x+y^2-2y+15 \end{eqnarray}$ Die erste Gleichung kann man jetzt mit $\begin{eqnarray} (2y-2) \end{eqnarray}$ multiplizieren und die zweite mit $\begin{eqnarray} (8x-16) \end{eqnarray}$ und erhalten dann $\begin{eqnarray} 0=-8xy+8x+4y-4+\lambda(8x-16)(2y-2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0=16xy-32y-16x+32+\lambda(2y-2)(8x-16) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0=4x^2-16x+y^2-2y+15 \end{eqnarray}$ Die ersten beiden Gleichungen lassen sich Subtrahieren: $\begin{eqnarray} 0=-24xy+24x+36y-36 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0=4x^2-16x+y^2-2y+15 \end{eqnarray}$ Jetzt hast du nur noch zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Vielleicht hiflt das weiter ...
24.06.2015, 23:03	Nullmenge	Auf diesen Beitrag antworten »
Da warst du wohl etwas schneller mit der Antwort. Allerdings sehe ich das Dividieren etwas problematisch zwecks Division durch 0
25.06.2015, 00:34	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
@Nullmenge Dein zuletzt erhaltenes System für x, y wollte ich jetzt nicht lösen, puhhh Die Multiplikation hat leider zur Folge, dass sich damit der Grad der Gleichung erhöht. Und was geschieht, wenn der Multiplikator selbst Null ist? ------------ Die Division der Gleichungen macht im Prinzip auch nichts anderes als die Elimination von $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ . Dass die Divisoren Null sind, kann in vielen Fällen sofort sichtlich ausgeschlossen oder muss andernfalls mittels Fallunterscheidung weitergerechnet werden. Ob dies hier auch zutreffend ist, ist jedenfalls zu untersuchen. In unserem Beispiel müssen die Gleichungen (Gl. 1 durch Gl. 2) wegen der speziellen Angabe gar nicht dividiert werden, denn die Gl. 2 können wir faktorisieren: $\begin{eqnarray} (\lambda + 1)(y - 1) = 0 \end{eqnarray}$ Fall 1: $\begin{eqnarray} \lambda = -1 \end{eqnarray}$ Dann ist aus Gl. 1 $\begin{eqnarray} x = \frac 3 2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ folgt aus der Nebenbedingung ... Fall 2: $\begin{eqnarray} y = 1 \end{eqnarray}$ Wir sehen in Gl. 2, dass es für $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ unendlich viele Lösungen gibt. Setzen wir y = 1 in die Nebenbedingung ein, so erhalten wir zwei x-Werte und aus Gl. 1 auch 2 Werte für $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ . Auch in Gl. 2 gibt es damit keinen Widerspruch, somit sind auch diese Lösungen gültig. mY+

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