Logarithmusfunktion auf Produkt erzeugt Minus?

24.06.2015, 21:12	Rokal	Auf diesen Beitrag antworten »
Logarithmusfunktion auf Produkt erzeugt Minus? Meine Frage: Hallo alle Zusammen, gegeben sei folgender Ausdruck: $\begin{eqnarray} log\prod \limits_{n=1}^{N}(1-p)^{x_n-1}p \end{eqnarray}$ Dieser wurde umgeformt zu: $\begin{eqnarray} Nlog(p)-\sum \limits_{n=1}^{N}(x_n-1)log(1-p) \end{eqnarray}$ Ich kann die Lösung eigentlich nachvollziehen, nur das - vor dem Summenzeichen macht für mich keinen Sinn :/ Wo kommt das her? Meine Ideen:* Ein Logarithmus auf eine Produktfunktion lässt sich zu einer Summe umformen, da log(x1x2xn) = log(x1) + log(x2) + log(xn) ist. Weiterhin lässt sich log(p) aus der Summe herausziehen, da diese vom Summenindex unabhängig ist. Weiterhin ist $\begin{eqnarray} log(a^b) = b log(a) \end{eqnarray*}$ , wodurch die Umformung - bis auf das Minus - Sinn macht.
24.06.2015, 22:16	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, es gilt das Logarithmus-Gesetz: $\begin{eqnarray} \log{\prod\limits_{k=1}^{N} p} = \log{p^N} = N \cdot \log{p} \end{eqnarray}$ Der restliche Ausdruck erfolgt ebenfalls unter Verwendung der Logarithmus-Gesetze, da die Logarithmus-Funktion auf ein Produkt angewandt wird. Viele Grüße Widderchen
24.06.2015, 22:23	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht der Term ist das Problem, sondern das falsche Vorzeichen vor der Summe (und wenn man es genau nimmt, auch etliche fehlende Klammern auf der linken Seite): Tatsächlich ist $\begin{align} \log\left( \prod_{n=1}^N \left((1-p)^{x_n-1}p\right) \right) = N\cdot\log(p)~{\color{red}+}~\sum_{n=1}^N (x_n-1)\log(1-p) \end{align}$
24.06.2015, 22:29	Rokal	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank. Ich hatte schon die Befürchtung, ich hätte irgendwo mal wieder nicht aufgepasst. Alles andere ergibt für mich Sinn. Vielen lieben Dank an euch beiden und noch einen angenehmen Abend!

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