orthogonale Komplemente

25.06.2015, 00:08	Fireball1406	Auf diesen Beitrag antworten »
orthogonale Komplemente Hallo allerseits, Mir bereitet folgende Aufgabe Kopfzerbrechen, da ich nicht weiß, was Strukturmatrizen sind.. Aufgabe: Es sei U= {(x,y,z)\| 3x + 4y - 2z = 0} $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ R^3 ein Untervektorraum, der eine Ebene im Raum beschreibt. Berechnen Sie fur die beiden Bilinearformen mit den folgenden Strukturmatrizen ¨ jeweils das orthogonale Komplement U^umgedrehtes T ; sowie U $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ U^umgedrehtes T;. Gegeben sind: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \in \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3/2 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix} \in \end{eqnarray}$ Beide Matrizen sind ja in Zeilenstufenform und haben somit den Dimension 3 in ZSF. Dann habe ich irgendwo gelesen, ich müsse mir das Erzeugendensystem anschauen und das EZS zu einer Basis ergänzen, indem ich zwei linear unabhängige Vektoren auswähle. Ich verstehe allerdings nicht, ob das richtig wäre und wie man am besten dabei vorgeht. Ich war leider krank bei der Vorlesung und konnte das so nicht verstehen...und ich verstehe halt vor allem nicht, was diese Matrizen genau können...
25.06.2015, 09:07	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
"Strukturmatrix" habe ich noch nie gehört, macht aber nichts, wenn man weiß, was eine Bilinearform ist und wie sie mit einer Matrix zusammenhängt. Siehe z.B. "Koordinatendarstellung" hier https://de.wikipedia.org/wiki/Bilinearform . Für einen Untervektorraum $\begin{eqnarray} U<V \end{eqnarray}$ heißt $\begin{eqnarray} U^{\perp} \end{eqnarray}$ der zu $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ orthogonale Untervektorraum. Es ist $\begin{eqnarray} V=U \oplus U^{\perp} \end{eqnarray}$ , und natürlich ist der Begriff der Orthogonalität von der Bilinearform $\begin{eqnarray} <.,.> \end{eqnarray}$ abhängig, weil $\begin{eqnarray} x\perp y\Leftrightarrow <x,y>=0 \end{eqnarray}$ .

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