Partialbruchzerlegung wenn Nenner rationalen Grad hat

25.06.2015, 10:29

Gani

Partialbruchzerlegung wenn Nenner rationalen Grad hat

Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \! \frac{1}{t^{\frac{2}{3}} + t^{\frac{3}{4}}} \, dt \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Wie ich das verstehe, sollte man eine Partialbruchzerlegung durchführen, der Grad ist aber keine natürliche Zahl. Könnte man auch eine Substitution machen, z.B. $\begin{eqnarray*} u := t^{\frac{1}{12} } \end{eqnarray*}$ , man erhält aber eine viel zu größe Gleichungssystem für die Koeffizienten. Vielleicht gibt es ein Trick?

25.06.2015, 10:48

HAL 9000

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Zitat:

Original von Gani
z.B. $\begin{eqnarray*} u := t^{\frac{1}{12} } \end{eqnarray*}$ , man erhält aber eine viel zu größe Gleichungssystem für die Koeffizienten.

Wie kommst du denn darauf? unglücklich

Hast du diese Substitution wirklich mal durchgeführt? Welches u-Integral hast du da erhalten?

25.06.2015, 11:10

Gani

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Keine Frage mehr, alles ist jetzt richtig. Zumindest sieht so aus.

Also, so habe ich das gemacht:
$\begin{eqnarray*} u := t^{1/12}, t = u^{12}, dt = 12*u^{11}du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \! \frac{1}{t^{\frac{2}{3}} + t^{\frac{3}{4}}} \, dt = \int_{u(0)=0}^{u(1)=1} \! \frac{12u^{11}}{u^{8} + u^{9}} \, du = 12 * \int_{0}^{1} \! \frac{u^{3}}{1+u} \, du \end{eqnarray*}$
Partialbruchzerlegung:
$\begin{eqnarray*} u^{3} : (u+1) = u^{2} - u + 1 - \frac{1}{u+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 12*\int_{0}^{1} \! \frac{u^3}{1+u} \, du = 12*\int_{0}^{1} \! u^{2} - u + 1 - \frac{1}{u+1} \, du \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 12*\left[ \frac{1}{3}u^{3} - \frac{1}{2}u^{2} + u - ln(u+1) \right]_{0}^{1} = 12 *(\frac{1}{3}-\frac{1}{2} + 1 - ln2) = 10 - 12ln2 \end{eqnarray*}$ ,
das ist jetzt positiv. Sorry für die Frage, mache immer noch diese dumme Felher

25.06.2015, 11:23

HAL 9000

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Kein Grund für eine Entschuldigung: Du hast nochmal drüber nachgedacht und bist selbständig zur richtigen Lösung gekommen - das ist weit mehr als das, was man üblicherweise hier im Board auf so ein "Nachhaken" erhält. Freude

25.06.2015, 11:42

Gani

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Danke, jetzt weiß ich aber nicht, wie ich antworten soll. Vielleicht einfach danke smile

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