3 x Würfeln: bedingte Wahrscheinlichkeit gesucht

25.06.2015, 16:53

mathemare

3 x Würfeln: bedingte Wahrscheinlichkeit gesucht

Meine Frage:
Ein Würfel wird 3 mal geworfen.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme kleiner als 11 ist unter der Bedingung, dass der zweite Wurf eine 2 ist.

Meine Ideen:
Da es sich beim Würfeln um eine Variation mit Wiederholung handelt, habe ich zunächst mit
$\begin{eqnarray*} 6^3 = 216 \end{eqnarray*}$ insgesamt mögliche Zahlentripel ermittelt.

Nun betrachte ich als nächstes das
Ereignis A "Augensumme < 11"
Mit der Methode von AD (die ich allerdings immer noch nicht ganz verstanden habe):

25.06.2015, 17:04

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von mathemare
Meine Frage:
Ein Würfel wird 3 mal geworfen.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme kleiner als 11 ist unter der Bedingung, dass der zweite Wurf eine 2 ist.

Die Bedingung vereinfacht die Angelegenheit enorm: Es ist dann

$\begin{align*} P(X_1+X_2+X_3< 11 \bigm| X_2=2) \stackrel{!}{=} P(X_1+2+X_3< 11 \bigm| X_2=2) = P(X_1+X_3< 9 \bigm| X_2=2) \stackrel{!}{=} P(X_1+X_3< 9) \end{align*}$ ,

letzteres $\begin{align*} \stackrel{!}{=} \end{align*}$ , weil die Würfe unabhängig voneinander stattfinden, und damit Ereignisse, die auf disjunkten Mengen von Würfen basieren, unabhängig sind. Im Prinzip ist hier also die Wahrscheinlichkeit gesucht, dass die Augensumme zweier Würfe kleiner als 9 ist.

25.06.2015, 17:12

mathemare

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die schnelle Antwort.
Leider konnte ich meinen Beitrag nicht editieren, deshalb hier noch einmal mein ausführlicher Ansatz:

Meine Frage:
Ein Würfel wird 3 mal geworfen.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme kleiner als 11 ist unter der Bedingung, dass der zweite Wurf eine 2 ist.

Meine Ideen:
Da es sich beim Würfeln um eine Variation mit Wiederholung handelt, habe ich zunächst mit
$\begin{eqnarray*} 6^3 = 216 \end{eqnarray*}$ insgesamt mögliche Zahlentripel ermittelt.

Nun betrachte ich als nächstes das Ereignis A "Augensumme < 11"
Mit der Methode von AD (die ich allerdings immer noch nicht ganz verstanden habe) habe ich 108 Elementarereignisse für dieses Ereignis A berechnet.

Als nächstes betrachte ich das Ereignis B "2.Wurf eine 2" und komme hier auf 36 Elementareignisse.

Da ja $\begin{eqnarray*} P(A|B) \end{eqnarray*}$ gesucht ist, rechne ich also:

$\begin{eqnarray*} P(A|B)= \frac{P(A \bigcap B)}{P(B)} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} P(A \bigcap B)= \frac{24}{216} = \frac{1}{9} \end{eqnarray*}$

und komme also auf $\begin{eqnarray*} P(A|B) = \frac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{6}} = \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

Richtig?

25.06.2015, 17:20

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von mathemare
mit $\begin{eqnarray*} P(A \bigcap B)= \frac{24}{216} = \frac{1}{9} \end{eqnarray*}$

Das ist falsch.

25.06.2015, 17:47

mathemare

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok Mist.
Es sind 26 und nicht 24…

Mögliche Ergebnisse für 1. Wurf: 1 2 3 4 5 6
Mögliche Ergebnisse für 2. Wurf: 2
Mögliche Ergebnisse für 3. Wurf: 1 2 3 4 5 6

Alle Tripel, die in Ereignis A und Ereignis B liegen:

(1, 2, 1) (2, 2, 1) (3, 2, 1) (4, 2, 1) (5, 2, 1) (6, 2, 1)
(1, 2, 2) (2, 2, 2) (3, 2, 2) (4, 2, 2) (5, 2, 2) (6, 2, 2)
(1, 2, 3) (2, 2, 3) (3, 2, 3) (4, 2, 3) (5, 2, 3)
(1, 2, 4) (2, 2, 4) (3, 2, 4) (4, 2, 4)
(1, 2, 5) (2, 2, 5) (3, 2, 5)
(1, 2, 6) (2, 2, 6)

also:

$\begin{eqnarray*} P(A|B) = \frac{\frac{26}{216}}{\frac{1}{6}} = \frac{13}{18} \end{eqnarray*}$

Jetzt aber richtig, oder?

25.06.2015, 17:49

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, stimmt. Wobei die 26 auch genau die Anzahl der Zweiersummen <9 ist, siehe mein erster Beitrag: Man kann sich also den ganzen Aufwand mit den Dreiersummen getrost sparen.

25.06.2015, 17:56

mathemare

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das stimmt natürlich.
Aber wenn man es nicht sofort sieht und lieber sicher gehen möchte, dann ist es ja gut zu wissen, dass der "herkömmliche" Weg auch funktioniert.

Kann man deine Herangehensweise eigentlich generell für dieses Problem benutzen? Ich habe auch noch andere Varianten dieser Aufgabe:

Es wird drei mal hintereinander gewürfelt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl kleiner oder gleich 12 gewürfelt wird, wenn der erste Wurf eine 5 ergab?

Müsste sich doch dann auch wieder wegen der Unabhängigkeit auf die letzten beiden Würfe reduzieren, oder?

25.06.2015, 18:49

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja klar, ist das selbe Schema nur mit Wurf 2&3 statt 1&3.

25.06.2015, 19:26

mathemare

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok super.
Und dann noch das ganze erweitert auf folgenden Sachverhalt:

Es wird 4 mal gewürfelt und gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe 14 gewürfelt wird unter der Bedingung dass der erste Wurf eine 2 und der dritte Wurf eine 4 ist.

Also müsste es so gehen:

$\begin{align*} P(X_1+X_2+X_3+X_4=14 \bigm| X_1=2 \vee X_3=4) = P(2+X_2+4+X_4=14 \bigm| X_1=2 \vee X_3=4) = P(X_2+X_4=8 \bigm| X_1=2 \vee X_3=4) = P(X_2+X_4=8) \end{align*}$

Im Letzteren dann die Angabe bzw. Berücksichtigung der Bedingung wieder wegen der Unabhängigkeit wegfallen.

Also ist die Wahrscheinlichkeit gesucht mit 2 Würfeln eine Augensumme von genau 8 zu würfeln.

Damit bleibt ein Ereignisraum von $\begin{eqnarray*} 6^2 = 36 \end{eqnarray*}$ Einzelereignissen.

Darin gibt es 10 Möglichkeiten mit zwei Würfen (also dem zweiten und vierten) eine Summe von 8 zu würfeln.

Also ist:

$\begin{eqnarray*} P(X_2+X_4=8) = \frac{10}{36} = \frac{5}{18} \end{eqnarray*}$

Ok?

25.06.2015, 19:28

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Alles richtig, bis auf das Zählen: Wieso 10? Es gibt nur 5 derartige Möglichkeiten:

(2,6) , (3,5), (4,4), (5,3) , (6,2)

25.06.2015, 19:34

mathemare

Auf diesen Beitrag antworten »

Verd… nochmal. Damit komm ich IMMER durcheinander.
Ich habe dummerweise die Anzahl der Paare mal zwei genommen.

Naja, aber trotzdem gut zu wissen, dass ich diesen Ansatz auf diesen Aufgabentyp so anwenden kann.

Danke vielmals.

25.06.2015, 20:38

mathemare

Auf diesen Beitrag antworten »

Noch eine andere Version:

Es wird 3 mal gewürfelt. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit eine 15 oder 16 zu würfeln, wenn der zweite Wurf eine 6 war.

Also:

$\begin{align*} P(X_1+X_2+X_3=15 \lor 16 \bigm| X_2=6) = P(X_1+6+X_3=15 \lor 16 \bigm| X_2=6) = P(X_1+X_3=9 \lor 10 \bigm| X_2=6) = P(X_1+X_3=9 \lor 10) \end{align*}$

Es bleibt der Ereignisraum mit 36 Elementarereignissen.

Darin gibt es 4 günstige Ereignisse für die Augensumme 9
und 3 günstige Ereignisse für Augensumme 10.

Also ist $\begin{align*} P(Summe = 9) = \frac{4}{36}=\frac{1}{9} \end{align*}$ und $\begin{align*} P(Summe = 10) = \frac{3}{36}=\frac{1}{12} \end{align*}$

So und nun noch das ODER einbeziehen. Nehme ich dafür den allgemeinen Additionssatz oder den Additionssatz für disjunkte Ereignisse?

25.06.2015, 21:15

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, es sind klar disjunkte Ereignisse: Ein- und dieselbe Summe kann ja nicht zugleich 9 und 10 sein. Augenzwinkern

Neue Frage »

Antworten »

3 x Würfeln: bedingte Wahrscheinlichkeit gesucht

Verwandte Themen