Normalbereich Festlegen

25.06.2015, 19:46

Sahit

Normalbereich Festlegen

Servus ich bins mal wieder Big Laugh

Geht um folgende Aufgabe:
Berechnen Sie:
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}\int_{}^{}\int_{}^{} \! \, \! \, \! \, \sin(z) dV \end{eqnarray*}$

wobei B den Tetraeder mit den Seitenflächen x=0, y=0, z=0 x+y+2z=2 bezeichne.

Ich habe mir schon skizzen etc gezeichnet mir will aber nicht einleuchten wie man auf folgenden Normalbereich kommen soll

$\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq 1 0\leq y\leq x-1 0\leq z\leq \frac{1}{2}*(1-x-y) \end{eqnarray*}$

MfG Sahit

25.06.2015, 20:03

HAL 9000

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Zitat:

Original von Sahit
x+y+2z=2

Deiner Rechnung nach zu urteilen sollte da wohl eher $\begin{eqnarray*} x+y+2z=1 \end{eqnarray*}$ stehen. verwirrt

25.06.2015, 20:05

Sahit

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Oh ja leider Vertippt ist natürlich
x+y+2z=1

Aber Problem bleibt weiterhin bestehen mir ist völlig unklar wie man darauf kommt.

25.06.2015, 20:15

HAL 9000

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Tja, zunächst mal bedeutet "Seitenflächen $\begin{align*} x=0,y=0,z=0,x+y+2z=1 \end{align*}$ " in das Gebiet beschreibende Ungleichungen übersetzt

$\begin{align*} B = \left\{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \bigm| x\geq 0,\, y\geq 0,\,z\geq 0\, x+y+2z\leq 1 \right\} \end{align*}$ .

Und aus diesem Ungleichungssystem ergibt sich dann das weitere: Aus $\begin{align*} y\geq 0 \end{align*}$ und $\begin{align*} z\geq 0 \end{align*}$ ergibt sich aus der letzten Ungleichung

$\begin{align*} 1\geq x+y+2z \geq x+0+0 \end{align*}$ , also $\begin{align*} x\leq 1 \end{align*}$ .

Für festes $\begin{align*} x \end{align*}$ nun aus dem ermittelten Bereich $\begin{align*} 0\leq x\leq 1 \end{align*}$ ergibt wiederum diese letzte Ungleichung in der B-Beschreibung, wenn man $\begin{align*} z\geq 0 \end{align*}$ nutzt:

$\begin{align*} 1\geq x+y+2z \geq x+y+0 \end{align*}$ , also umgestellt $\begin{align*} y\leq 1-x \end{align*}$ .

Und schlussendlich für festes $\begin{align*} x \end{align*}$ mit $\begin{align*} 0\leq x\leq 1 \end{align*}$ und ebenfalls festes $\begin{align*} y \end{align*}$ mit $\begin{align*} 0\leq y\leq 1-x \end{align*}$ dann eben $\begin{align*} 1\geq x+y+2z \end{align*}$ direkt umgestellt zu $\begin{align*} z\leq \frac{1}{2}(1-x-y) \end{align*}$ .

Dieses Vorgehen $\begin{align*} x\to y\to z \end{align*}$ entspricht dem Integrationsrahmen "äußere Integration bzgl. $\begin{align*} x \end{align*}$ , mittlere Integration bzgl. $\begin{align*} y \end{align*}$ , innere Integration bzgl. $\begin{align*} z \end{align*}$ ", d.h. von außen nach innen gehend betrachtet man die weiter außen liegenden Integrationsvariablen als fix, so ist dieser iterative Aufbau der Beschreibung der Menge $\begin{align*} B \end{align*}$ zu verstehen.

25.06.2015, 20:36

Sahit

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Ok das hat mir schon mal richtig weiter geholfen dank dir! Ich denke das werde ich in den nächsten Tagen einfach noch etwas Üben müssen. Ist meiner Meinung nach das Mathematisch am schwersten zu verstehende was ich bis jetzt hatte. Aber wie heißt es doch gleich Übung macht den Meister Augenzwinkern

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