Kann man die Rationalität von Quadratwurzeln auch direkt beweisen? |
| 25.06.2015, 21:57 | Tunichgut | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Kann man die Rationalität von Quadratwurzeln auch direkt beweisen? Hallo Ihr Mathematikerinnen und Mathematiker, vor einigen Tagen hatte Kunibert hier eine interessante Frage zum direkten Beweis der Rationalität von Quadratwurzeln gestellt. Habe auch versucht, einen direkten Beweis dafür zu finden (siehe unten). Könntet Ihr mir bitte sagen, ob "mein" Beweis richtig oder falsch ist? Meine Ideen: Direkter Beweisversuch zur Rationalität bzw. Irrationalität von Quadratwurzeln Wenn die Quadratwurzel aus x rational ist, läßt sie sich als Bruch schreiben: Wurzel x = a/b a und b sind ganze Zahlen, wobei b ungleich 0 ist Wurzel x = a/b Gleichung quadrieren x = a²/b² Gleichung nach a² umstellen a² = x * b² Gleichung (I) Sieht man sich die Folge der Quadratzahlen an 1; 4, 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100 usw dann stellt man Folgendes fest: Multipliziert man eine Quadratzahl mit einer Quadratzahl, so ergibt sich wieder eine Quadratzahl, z.B.: 4 * 9 = 36 oder 4 * 16 = 64 Ist dagegen einer der Faktoren keine Quadratzahl, während der andere Faktor eine Quadratzahl ist, so ist das Produkt auch keine Quadratzahl. Anders gesagt: Quadratzahl mal Nicht-Quadratzahl ist immer eine Nicht-Quadratzahl. Schaut man sich Gleichung (I) an: a² = x * b² so sieht man, daß auf der linken Gleichungsseite eine Quadratzahl steht. Also muß auch der Term auf der rechten Seite ( x * b²) eine Quadratzahl sein. Wegen dem obigen Satz Quadratzahl mal Nicht-Quadratzahl ist immer eine Nicht-Quadratzahl muß also x eine Quadratzahl sein ( denn wäre x eine Nicht-Quadratzahl, dann wäre das Produkt x * b² auch eine Nicht-Quadratzahl und könnte nicht gleich der Quadratzahl a² sein). Zusammengefaßt: Quadratwurzel aus x ist rational, wenn x eine Quadratzahl ist. Quadratwurzel aus x ist irrational, wenn x keine Quadratzahl ist. Bsp.: Da 2 keine Quadratzahl ist, ist die Quadratwurzel aus 2 irrational. Ich weiß nicht, ob der obige Satz Quadratzahl mal Nicht-Quadratzahl ist immer eine Nicht-Quadratzahl richtig ist (habe ihn aus keinem Buch, weiß also auch nicht, ob es diesen Satz überhaupt gibt). Deshalb will ich versuchen, ihn zu beweisen: Eine Quadratzahl läßt sich immer in 2 gleiche Faktoren zerlegen, wobei diese Faktoren ganze Zahlen sind: a² = a * a b² = b * b a und b sind ganze Zahlen Eine Nicht-Quadratzahl läßt sich nie in 2 gleiche Faktoren zerlegen, wobei diese Faktoren ganze Zahlen sind: x = y * z wobei y ungleich z ist, y und z sind ganze Zahlen x * b² = y * z * b * b = y * b * z * b Das Produkt auf der rechten Gleichungsseite läßt sich nicht so umformen, daß 2 gleiche ganzzahlige Faktoren entstehen. Also ist das Produkt aus Nicht-Quadratzahl x und Quadratzahl b² stets eine Nicht-Quadratzahl, was zu beweisen war. Könntet Ihr mir bitte weiterhelfen und sagen, ob der obige Satz Quadratzahl mal Nicht-Quadratzahl ist immer eine Nicht-Quadratzahl und vor allem der zugehörige Beweis richtig sind? Ist die Folgerung, daß nur Quadratwurzeln aus Quadratzahlen rational sind richtig? Dankeschön!!! |
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| 25.06.2015, 22:06 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Lange und ziemlich mäandernde Ausführungen zum Thema Quadratzahl, nun gut. Eins muss ich gleich mal anmerken: Normalerweise spricht man von "Quadratzahl" nur im Falle von Quadraten ganzer Zahlen. Dies berücksichtigend ist Aussage
natürlich nur dann richtig, falls du nur über ganze Zahlen sprichst (was nirgendwo von dir deutlich festgehalten wurde). Denn etwa für ist durchaus rational, ohne dass (im klassischen Sinn) eine Quadratzahl ist. |
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| 26.06.2015, 05:42 | Tunichgut | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo HAL 9000, ich hatte angemerkt, daß man von Quadratzahlen nur im Falle ganzer Zahlen spricht: "...Eine Quadratzahl läßt sich immer in 2 gleiche Faktoren zerlegen, wobei diese Faktoren ganze Zahlen sind: a² = a * a b² = b * b a und b sind ganze Zahlen Eine Nicht-Quadratzahl läßt sich nie in 2 gleiche Faktoren zerlegen, wobei diese Faktoren ganze Zahlen sind: x = y * z wobei y ungleich z ist, y und z sind ganze Zahlen x * b² = y * z * b * b = y * b * z * b ..." Ist mein Beweis dazu, daß Quadratwurzeln nur dann rational sind, wenn der Radikand selbst eine Quadratzahl ist denn richtig? Viele Grüße |
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| 26.06.2015, 08:41 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist nicht das, was ich kritisiert habe - sondern, dass ich am Anfang die Klarstellung vermisse, dass du nur von ganzen Zahlen sprichst
tl;dr Aus mit teilerfremden folgt . Daraus folgt, dass jeder Primfaktor von auch und damit teilen muss. Wegen der Teilerfremdheit von kann es solche Primfaktoren dann aber nicht geben, damit ist und folglich - fertig. |
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| 26.06.2015, 17:20 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo, dein postulierter und nicht bewiesener Satz
ist genauso schwierig / leicht zu beweisen, wie die Behauptung selbst. Wenn du deine Behauptung also darauf zurückführst, hast du im Endeffekt nichts gewonnen, du könntest ebensogut deine Anfangsbehauptung postulieren. |
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| 27.06.2015, 07:04 | Tunichgut | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo Guppi12, vielen Dank für Deine Antwort! Ich fürchte, ich habe es noch nicht ganz verstanden: Liegt mein Fehler denn in dem Beweis für den Satz Quadratzahl mal Nicht-Quadratzahl ist immer eine Nicht-Quadratzahl d.h. mein Beweis ist gar kein Beweis? Oder ist der obige Satz selbst falsch? Ich versuche, den Beweis noch einmal zu schreiben. Könntest Du mir bitte sagen, an welcher Stelle ich den Denkfehler in dem Beweis habe? Dann blicke ich vielleicht durch. Hier mein neuer Anlauf: 1.) Eine Quadratzahl läßt sich immer in 2 gleiche ganzzahlige Faktoren zerlegen a² = a * a (a ist eine ganze Zahl) 2.) Eine Nicht-Quadratzahl läßt sich nie in 2 gleiche ganzzahlige Faktoren zerlegen x = y * z (y ist ungleich z, y und z sind ganze Zahlen) 3.) Das Produkt aus Quadratzahl a² und Nicht-Quadratzahl x ist immer eine Nicht-Quadratzahl, denn man kann das Produkt nicht in 2 gleiche ganzzahlige Faktoren zerlegen: a² * x = a * a * y * z Auch nach Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation kann man das Produkt nicht so schreiben, daß es in 2 gleiche ganzzahlige Faktoren zerlegbar ist: a² * x = a * y * a * z Und da sich nie 2 gleiche ganzzahlige Faktoren ergeben, ist das Produkt eine Nicht-Quadratzahl. Könntest Du mir bitte sagen, wo mein Denkfehler ist (in Schritt 1, Schritt 2 oder Schritt 3)? Vielen Dank! |
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