Fixpoint iteration

25.06.2015, 22:03	Hummeldummel	Auf diesen Beitrag antworten »
Fixpoint iteration Meine Frage: Das folgende Gleichungssystem soll gelöst werden: $\begin{eqnarray} x^2+y^2=5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{x^2}{16}+y^2=\frac{5}{4} \end{eqnarray}$ Dieses kann auch als Fixpunkt iteration dargestellt werden $\begin{eqnarray} (x_k,y_k) = F(x_{k-1},y_{k-1}) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} F_1(x,y)=\sqrt{5-y^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F_2(x,y) = \sqrt{\frac{5}{4}-\frac{x^2}{16}} \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} \omega_x = [0,\sqrt5] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \omega_y=[0,\frac{\sqrt{5}}{2}] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \omega = \omega_x \end{eqnarray}$ x $\begin{eqnarray} \omega_y \end{eqnarray}$ Zeige das die Iteration gegen $\begin{eqnarray} x^=2,y^=1 \end{eqnarray}$ konvergiert und gib eine a priori abschätzug bei einer genauigkeit von $\begin{eqnarray} 10^{-6} \end{eqnarray}$ an. Verwende die Unendlichkeitsnorm $\begin{eqnarray} \|\|.\|\|_{\infty} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Als erstes brauchen wir die Ableitungen $\begin{eqnarray} f_1=\frac{-y}{5-y^2} \end{eqnarray}$ and $\begin{eqnarray} f_2=-\frac{x}{4\sqrt{20-x^2}} \end{eqnarray}$ Dann muss folgenes gelten: $\begin{eqnarray} \|F'_i\|=\|f_i\|<1 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} i \in {1,2} \end{eqnarray}$ Dafür erhalte ich: $\begin{eqnarray} \|f_1\|<\frac{1}{\sqrt{3}} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \|f_2\|<\frac{\sqrt3}{12} \end{eqnarray}$ <br> Ich komm nicht drauf wie ich es als Folge umschreiben soll, damit es auf einen Grenzwert kommt... Für paar Testwerte scheint das aber schon zu stimmen^^ Für $\begin{eqnarray} (x_0,y_0)=(\sqrt{5},\frac{\sqrt{5}}{2}) \end{eqnarray}$ bekommt man $\begin{eqnarray} (x_1,y_1)=(0.96825,1.968) \end{eqnarray}$ <br><br> Für die Abschätzung $\begin{eqnarray} \|\|F'(x,y)\|\|_\infty = max(f_1,f2) < max(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{\sqrt3}{12})=\frac{1}{\sqrt{3}} \end{eqnarray}$ <br> Danach verwende ich $\begin{eqnarray} \|\|x_k-x^\|\| \leq \frac{L^k}{1-L}\|\|x_1-x_0\|\| \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} L=\frac{1}{\sqrt{3}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|\|x_k-x^\|\|=10^{-6} \end{eqnarray}$ ich erhalte jedoch eine komplexe zahl Ich hoffe ihr könnt mir helfen

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