Differentialgleichung 2 Ordnung inhomogen

26.06.2015, 02:21

Lorenord

Differentialgleichung 2 Ordnung inhomogen

Guten Tag,
Nun habe ich endlich dgl 1 Ordnung verstanden und wage mich jetzt an die zweite Ordnung.
Ich benötige dabei jedoch eure Hilfe da ich stets bei den Lösungsansätze des störfunktions scheitere

Und zwar habe ich folgende dgl

u" - 6u' + 9u = 9*e^3t * sin( 3t )

Aller erst habe ich die Lösung des charakteristischen Gleichunges gelöst und die Lösung u = 3 erhalten
Somit erhalte ich die allgemeine Lösung u = A * e^3x

Beim Resonanz habe ich einfach geraten das es eine einfache Lösung ist . Daher habe ich
Den Lösungsansatz yp= e^3x ( A * sin(wx) + cos ( wx) )
Es ist alles sehr schwammig daher bitte ich um eure Hilfe da ich es drauf haben muss

Danke smile

26.06.2015, 06:02

Gani

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Differentialgleichung 2 Ordnung inhomogen
Hi,

die Idee ist, dass deine Lösung $\begin{eqnarray*} y_{h} = A * e^{3t} \end{eqnarray*}$ zwar keine Lösung ist, sie ändert aber nichts. Ich meine, wenn $\begin{eqnarray*} \zeta \end{eqnarray*}$ - die Lösungsmenge ist, und $\begin{eqnarray*} y_{p} \in \zeta \end{eqnarray*}$ , dann gilt auch $\begin{eqnarray*} (y_{h}+y_{p} \in \zeta) \end{eqnarray*}$ , da die homogene Lösung 0 liefert.

Beweis:
Deine DGL ist von der Form Lu(t) = f(t), mit $\begin{eqnarray*} L = D^{2} - 6D + 9 \end{eqnarray*}$ , wobei D ein Differentialoperator ist. Sei $\begin{eqnarray*} y_{p} \end{eqnarray*}$ eine Lösung, d.h. $\begin{eqnarray*} y_{p} \in \zeta \end{eqnarray*}$ .
Dann gilt $\begin{eqnarray*} Ly_{p} = f(t) \end{eqnarray*}$ , und somit gilt auch
$\begin{eqnarray*} L(y_{h}+y_{p}) = Ly_{h} + Ly_{p} = 0 + f(t) = f(t) \end{eqnarray*}$
D.h. die allgemeinste Lösung ist
$\begin{eqnarray*} y_{h} + y_{p} \end{eqnarray*}$
den ersten Summand hast du schon bestimmt.
Für die partikuläre Lösung hast du den richtigen Ansatz gemacht, dass
$\begin{eqnarray*} y_{p} = e^{3t}(A*sin(3t) +B*cos(3t)) \end{eqnarray*}$
Nun muss man die Koeffizienten bestimmen:
$\begin{eqnarray*} Dy_{p} = 3*e^{3t}(A*sin(3t) +B*cos(3t)) + e^{3t}(3*A*cos(3t) - 3*B*sin(3t)) = e^{3t}\left[(3A-3B)sin(3t) + (3B+3A)cos(3t)\right] \end{eqnarray*}$
Analog gilt:
$\begin{eqnarray*} D^{2}y_{p} = e^{3t}\left[(3*(3A-3B)-3(3B+3A))sin(3t) + (3*(3A-3B)+3(3B+3A))cos(3t)\right] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = e^{3t}\left[ (-18B)sin(3t) + (18A)cos(3t) \right] \end{eqnarray*}$
Und mit L auf partikuläre Lösung angewendet:
$\begin{eqnarray*} Ly_{p} = e^{3t}\left[ (-18B)sin(3t) + (18A)cos(3t) \right] - 6 * e^{3t}\left[(3A-3B)sin(3t) + (3B+3A)cos(3t)\right] + 9 * e^{3t}(A*sin(3t) +B*cos(3t)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 9*e^{3t}*\left[ (-2B - A)sin(3t) + (-3B)cos(3t) \right] \end{eqnarray*}$
Vergleichen wir das mit $\begin{eqnarray*} 9e^{3t}*sin(3t) \end{eqnarray*}$ und erhalten:
$\begin{eqnarray*} -2B-A = 1 \land -3B = 0 \Rightarrow B = 0 \land A = -1 \Rightarrow y_{p} = e^{3t}(-1*sin(3t) +0*cos(3t)) = -e^{3t}sin(3t) \end{eqnarray*}$
Jetzt möchte ich nun schnell prüfen, ob das wirklich eine Lösung ist:
$\begin{eqnarray*} Dy_{p} = -3e^{3t}sin(3t) - 3e^{3t}cos(3t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} D^{2}y_{p} = -9e^{3t}sin(3t) - 9e^{3t}cos(3t) - 9e^{3t}cos(3t) + 9e^{3t}sin(3t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = -18e^{3t}cos(3t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_{p} = -18e^{3t}cos(3t) + 18e^{3t}sin(3t) + 18e^{3t}cos(3t) - 9e^{3t}sin(3t) = 9e^{3t}sin(3t) \end{eqnarray*}$ , wie erwartet. Dann die allgemeine Lösung ist
$\begin{eqnarray*} y = A*e^3t - e^{3t}sin(3t) \in \zeta \end{eqnarray*}$

26.06.2015, 08:25

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Lorenord
Aller erst habe ich die Lösung des charakteristischen Gleichunges gelöst und die Lösung u = 3 erhalten
Somit erhalte ich die allgemeine Lösung u = A * e^3x

Die homogene Lösung ist nicht komplett:

Der Wert 3 ist zweifache (!) Nullstelle der charakteristischen Gleichung, damit ist die homogene Lösung gleich $\begin{align*} u_h(t) = (A{\color{red}+Bt})\cdot e^{3t} \end{align*}$ .

Hätte dich stutzig machen müssen: Eine DGL zweiter Ordnung muss auch in der Lösung zwei Freiheitsgrade (hier: A,B) haben, nicht nur einen. unglücklich

26.06.2015, 08:53

Gani

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Lorenord
Aller erst habe ich die Lösung des charakteristischen Gleichunges gelöst und die Lösung u = 3 erhalten
Somit erhalte ich die allgemeine Lösung u = A * e^3x

Also, dann ist die homogene Anteil meiner Lösung auch nicht korrekt, sollte das überpüfen.

27.06.2015, 01:21

Lorenord

Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso ist die homogene Lösung ( a + b ) e^t habe doch nur eine nullstelle und die ist drei

Die Resonanz beeinflusst doch meine partikuläre Lösung oder nicht ?

27.06.2015, 14:54

Lorenord

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich bin jetzt auf die Lösung gekommen aber eins ist mir immer noch nicht schlüssig und zwar
Lautet die allgemeine Lösung ja ( A + Bx) * e^3x

Und die partikuläre Lösung muss lauten e^3x ( A + sin(3x) ) , sodass ich auf die Lösung e^3x ( 3 - sin(3x) ) komme , welches auch die richtige Lösung ist .

Jedoch habe ich die partikuläre Lösung rein zufällig und durch Ausprobieren so zusammengefügt , ich weiß nicht ob es diesen Lösungsansatz überhaupt gibt , es hat mir jedoch die richtige Lösung verschafft

Meine Frage an euch ist die partikuläre Lösung nun richtig , wenn ja wie kommt man auf die Lösungsansätze da ich keine Tabelle oder sonstiges in die Prüfung nehmen darf

Danke euch

27.06.2015, 15:35

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Lorenord
sodass ich auf die Lösung e^3x ( 3 - sin(3x) ) komme , welches auch die richtige Lösung ist .

Anscheinend sind auch noch irgendwelche Anfangsbedingungen gegeben, die du bisher im Thread nicht genannt hast. unglücklich

Außerdem ist dein fliegender Wechsel der unabhängigen Variablen zwischen $\begin{align*} x \end{align*}$ und $\begin{align*} t \end{align*}$ ziemlich übel - es wäre anratsam, sich für eins der beiden zu entscheiden und dann konsequent dabei zu bleiben.

27.06.2015, 15:37

Lorenord

Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid habe die glatt vergessen

U(o) = 3

U'(o) = 6

27.06.2015, 15:45

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, mit diesen Anfangsbedingungen ergeben sich für die allgemeine Lösung $\begin{align*} u(t) = (A+Bt-\sin(3t))e^{3t} \end{align*}$ der inhomogenen DGL die Parameterwerte $\begin{align*} A=3,B=0 \end{align*}$ und damit tatsächlich die von dir angegebene Lösung $\begin{align*} u(t)=(3-\sin(3t))e^{3t} \end{align*}$ für diese spezielle AWA.

27.06.2015, 15:58

Lorenord

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie bist du denn auf den Lösungsansatz gekommen ? Bei mir war es reiner Zufall und darauf kann ich in meiner Prüfung nicht hoffen

27.06.2015, 16:07

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich habe ich nur alle Erkenntnisse aus dem Thread nochmal zusammengetragen. Du willst doch nicht etwa sagen, dass du das alles schon wieder vergessen bzw. überhaupt verschlafen hast? unglücklich

Zur homogenen Lösung $\begin{align*} u_h \end{align*}$ habe ich gestern 8:25 was gesagt, und Gani hatte vorher schon ausführlich dargestellt, wie man eine passende partikuläre Lösung $\begin{align*} u_p \end{align*}$ für deine Störfunktion ermittelt. Beides zusammengeführt bekommt man jene allgemeine Lösung $\begin{align*} u(t)=(A+Bt-\sin(3t))e^{3t} \end{align*}$ der inhomogenen DGL. Die kann man nun ableiten, was $\begin{align*} u'(t)=(3A+B+3Bt-3\sin(3t)-3\cos(3t))e^{3t} \end{align*}$ ergibt. Einsetzen von $\begin{align*} t=0 \end{align*}$ ergibt $\begin{align*} u(0) = A \end{align*}$ sowie $\begin{align*} u'(0)=3A+B-3 \end{align*}$ , womit sich über das resultierende Gleichungssystem $\begin{align*} A=3,3A+B-3=6 \end{align*}$ die beiden Koeffizienten $\begin{align*} A=3,B=0 \end{align*}$ ergeben.

27.06.2015, 16:10

Lorenord

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habs endlich Big Laugh

Danke ihr seid super !

Neue Frage »

Antworten »

Differentialgleichung 2 Ordnung inhomogen

Verwandte Themen