Anfangwertproblem

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Whiskey9 Auf diesen Beitrag antworten »
Anfangwertproblem
Meine Frage:
Zu lösen ist folgendes AWP.


und




Meine Ideen:
Ich weiß dass ich eine Trennung der Variablen vornehmen muss, sprich x und y jeweils auf eine Seite bringen. Ich hätte jetzt 1/x auf der rechten Seite ausgeklammert. Komme dann auf

Jedoch komme ich jetzt nicht weiter, ist das evtl. der Falsche Anfang bzw. wie müsste ich dann die Variablen trennen?
grosserloewe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangwertproblem
Wink

Trennung der Variablen ist falsch, hier geht Variation der Konstanten
Whikey9 Auf diesen Beitrag antworten »

also ?
grosserloewe Auf diesen Beitrag antworten »

Wink
nein, das ist falsch,

Du kannst bei dieser Aufgabe Trennung der Variablen nicht einsetzen.
Das heißt, Du kannst das x nicht auf die eine Seite und das y nicht auf die andere Seite bringen.

Was hast Du den bis jetzt über DGL an der Uni gehabt?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

@Whiskey9

Verwende bitte mal ' statt ` für die Ableitung, denn zumindest Firefox-Nutzer lesen bei dir

[attach]38549[/attach]

Danke.
Whiskey9 Auf diesen Beitrag antworten »

Trennung der Variablen (fällt ja raus) und was mir jetzt noch spontan einfällt wäre Substitution
 
 
grosserloewe Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

Substitution geht auch nicht , aber Variation der Konstanten .
Whiskey9 Auf diesen Beitrag antworten »

okay dass hatten wir so nie in der Vorlesung, sondern nur mit der Trennung von Variablen. Also muss ich jetzt eine Konstante variieren, sprich für einfach c(x) einsetzen und beide Seiten ableiten?

Tut mir Leid aber sowas haben wir noch nicht gemacht verwirrt
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Der allgemeine Lösungsweg ist wie folgt:

----------------------------------------------
1.Schritt (Trennung der Variablen):
Löse zuerst die homogene Differenzialgleichung (also ohne die Störfunktion) mittels Trennung der Variablen. Die homogene Lösung ist bis auf eine Konstante C unbestimmt. Die homogene Lösung lautet also eigentlich
----------------------------------------------
2.Schritt (Variation der Konstanten):
Man betrachtet die Konstante C aus Schritt 1 als x-abhängige Funktion C(x) und geht mit dem Ansatz in die ursprüngliche Differenzialgleichung . Das ergibt eine neue Differenzialgleichung für die Funktion C(x). Wenn man diese gelöst hat und C(x) kennt, ist der obige Ansatz die gesuchte Lösung. Diese Lösung ist wieder bis auf eine neue Konstante D unbestimmt. Man hat also eigentlich mit unbestimmtem D.
-----------------------------------------------
3.Schritt (Anpassen der Anfangsbedingung)
Um die unbestimmte Konstante D zu finden, setzt man die Lösung in die Anfangsbedingung y(1)=2 ein.
------------------------------------------------
grosserloewe Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

OK Ehos ich schenke Dir den Thread.
Whikey9 Auf diesen Beitrag antworten »

okay ich veruchs mal:

1.





mit





it das ssoweit richtig?
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

1.Schritt (Trennung der Variablen) Löse die homogenen Gleichung:









2.Schritt (Variation der Kontanten)
Betrachte die Integrationskonstante C als x-abhängig und gehe mit dem Ansatz in die inhomogene Gleichung



Damit bekommst du folgende Differentialgleichung für die Funktion C(x)



Integriere dies, um C(x) zu bekommen. Setze dieses C(x) in den obigen Ansatz ein, womit die Lösung der inhomogen Gleichung bekannt ist (Bis auf einen Faktor D). Mache danach so weiter, wie ich damals in Schritt 3 geschrieben habe...
Whiskey9 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, erstmal Danke für die Hilfe.

Schritt 1 konnte ich nachvollziehen und habe ihn verstanden. Doch wie kommt du bei Schritt 2 auf

?

wenn ich statt y y=C(x)*x² einsetze müsste doch raukommen?

Oder habe ich da einen Denkfehler?

Danke
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn y', wenn ist ?
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Setze den Ansatz ein in die inhomogene Gleichung



Das ergibt



Multipliziere diese Gleichung mit oder (was das Gleiche ist) mit . Das ergibt

Whiskey9 Auf diesen Beitrag antworten »

ich verstehe nicht wie du auf den linken Teil der Gleichung kommst.

wenn ich ableite komme ich ja auf
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

"Variation der Konstanten" bedeutet, dass eben jenes (im Gegensatz zu seiner Bedeutung bei der homogenen Lösung) hier eben nicht mehr als konstant betrachtet wird, sondern als Funktion . Das muss bei der Ableitung dann natürlich berücksichtigt werden, also gilt gemäß Produktregel

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