Nichtexistenz einer Funktion

26.06.2015, 10:49

r4ndom19

Nichtexistenz einer Funktion

Hallo,

ich habe eine Vermutung, bin mir aber nicht ganz sicher ob es stimmt:
Eine Funktion f:U->R mit $\begin{eqnarray*} U \subset R^n \text{ sowie } Df \neq 0 \text{ und } f(x)=const \text{ für alle x mit Norm(x)=1 existiert nicht, wenn sie überall stetig partiell diff'bar ist} \end{eqnarray*}$

Denn aus stetig partiell diff'bar folgt totale diffbarkeit.
Dann gilt aber:
$\begin{eqnarray*} f(x)=f(x+\xi)+A\xi+\phi(\xi) \end{eqnarray*}$ für A ungleich Null (nach Vorr.) mit einer Abbildung Phi, die schneller als linear gegen Null geht. (Def. von totaler diff'barkeit)
Wenn man nun x auf dem Einheitskreis wählt und für Xi eine Folge auf dem Einheitskreis die gegen x konvergiert, dann wird daraus (da f konstant auf dem Einheitskreis ist)
$\begin{eqnarray*} 0=A\xi+\phi(\xi) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} -A\xi=\phi(\xi) \end{eqnarray*}$
Dies ist aber für hinreichend kleines Xi falsch, denn dann muss gelten:
$\begin{eqnarray*} -A\xi<\phi(\xi) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} -A\xi>\phi(\xi) \end{eqnarray*}$

26.06.2015, 14:40

Guppi12

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Hallo,

deine Überlegungen funktionieren so leider nicht, die Aussage ist auch falsch. Erstmal hierzu:

Zitat:

Wenn man nun x auf dem Einheitskreis wählt und für Xi eine Folge auf dem Einheitskreis die gegen x konvergiert, dann wird daraus (da f konstant auf dem Einheitskreis ist)
$\begin{eqnarray*} 0=A\xi+\phi(\xi) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} -A\xi=\phi(\xi) \end{eqnarray*}$

Du meinst hier sicher eine Folge $\begin{eqnarray*} (\xi_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} x+\xi_n \end{eqnarray*}$ auf dem Einheitskreis liegt, nicht $\begin{eqnarray*} \xi_n \end{eqnarray*}$ selbst.

Du schreibst, dass dann

Zitat:

$\begin{eqnarray*} -A\xi<\phi(\xi) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} -A\xi>\phi(\xi) \end{eqnarray*}$

Dabei scheinst du davon auszugehen, dass für lineare Abbildungen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , die nicht die Nullabbildung sind, niemals $\begin{eqnarray*} \frac{A\xi_n}{\|\xi_n\|}\to 0 \end{eqnarray*}$ gelten kann, wenn $\begin{eqnarray*} \xi_n \end{eqnarray*}$ eine spezielle Nullfolge ist. Das würde stimmen, wenn du für $\begin{eqnarray*} \xi_n \end{eqnarray*}$ beliebige Nullfolgen zulässt, da findet sich dann immer eine, wo das nicht gegen Null konvergiert, in deinem Fall ist das aber einfach falsch. Betrachte zum Beispiel $\begin{eqnarray*} A = (1\quad 0)\in L(\mathbb R^2, \mathbb R) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \xi_n = \begin{pmatrix}\cos\left(\frac{1}{n}\right)-1 \\ \sin\left(\frac{1}{n}\right)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Das ist sogar eine Folge, die bei entsprechender Verschiebung auf dem Einheitskreis liegt. (Habe ich extra so gewählt, damit du die Idee für ein Gegenbeispiel zu deiner Behauptung verwenden kannst.)

26.06.2015, 15:59

r4ndom19

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Ja deine "Korrekturen" meiner unsauberen Formulierungen sind alle korrekt, tut mir leid >.>

Zwecks des Gegenbeispiels:
Wäre nicht die Norm ein geeigneter Kandidat (wobei man die 0 aus dem Def.-Gebiet raushalten müsste)?
Diese ist stetig partiell diff'bar, ist auf dem Einheitskreis natürlich 1. (also konstant) und der Anstieg ist immer von Null verschieden.
( $\begin{eqnarray*} \partial_i |x|=\frac{x_i}{|x|} \end{eqnarray*}$ ) Wie gesagt in Null ist die Ableitung natürlich nicht definiert.
Als offenes Gebiet könnte man einfach einen Kreisring der den Einheitskreis beinhaltet wählen.

26.06.2015, 16:08

Guppi12

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Dein Beispiel passt. Und die $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ muss man tatsächlich herausnehmen. (Das muss auch so sein, eine Funktion wie oben angegeben, für die $\begin{eqnarray*} \overline{B(0,1)}\subset U \end{eqnarray*}$ gilt, kann es nicht geben.)

Alternativ könnte man auch $\begin{eqnarray*} \|x\|^2 \end{eqnarray*}$ nehmen, dann hat man keine Wurzeln.

26.06.2015, 16:38

r4ndom19

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Zitat:

Original von Guppi12
Dein Beispiel passt. Und die $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ muss man tatsächlich herausnehmen. (Das muss auch so sein, eine Funktion wie oben angegeben, für die $\begin{eqnarray*} \overline{B(0,1)}\subset U \end{eqnarray*}$ gilt, kann es nicht geben.)

Alternativ könnte man auch $\begin{eqnarray*} \|x\|^2 \end{eqnarray*}$ nehmen, dann hat man keine Wurzeln.

Mit $\begin{eqnarray*} \overline{B(0,1)} \end{eqnarray*}$ meinst du den abgeschlossenen Einheitskreis, oder? Wieso gibt es denn keine Funktion die diese Bedingungen erfüllt?

26.06.2015, 16:46

Guppi12

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Zitat:

Mit $\begin{eqnarray*} \overline{B(0,1)} \end{eqnarray*}$ meinst du den abgeschlossenen Einheitskreis, oder?

Ja. Eine stetige Funktion nimmt auf dem Kompaktum $\begin{eqnarray*} \overline{B(0,1)} \end{eqnarray*}$ stets ein Minimum und ein Maximum an. Folgere nun aus den Voraussetzungen, dass sowohl Minimum als auch Maximum nicht im Inneren liegen kann. Wo liegen sie dann und was folgt daraus?

27.06.2015, 10:42

r4ndom19

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Zitat:

Original von Guppi12

Zitat:

Mit $\begin{eqnarray*} \overline{B(0,1)} \end{eqnarray*}$ meinst du den abgeschlossenen Einheitskreis, oder?

Im Inneren kann kein Max/Min sein, da der Gradient nirgends verschwindet. Also liegt sowohl Min und Max auf dem Rand. Dann ist aber Minimum gleich Maximum und die Funktion überall Konstant, dies ist aber ein Widerspruch dazu, dass der Gradient nicht verschwindet smile

27.06.2015, 14:26

Guppi12

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Gut

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