Zusammenhang Gleich- und Exponentialverteilung

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26.06.2015, 12:07	0durch0ist27	Auf diesen Beitrag antworten »
Zusammenhang Gleich- und Exponentialverteilung Meine Frage: $\begin{eqnarray} X_1, \dots, X_n \end{eqnarray}$ iid gleichverteilt auf [0,1]. $\begin{eqnarray} Y_n := n \cdot min_{1\le k \le n} X_k \end{eqnarray}$ Behauptung: $\begin{eqnarray} Y_n \end{eqnarray}$ konvergiert in Verteilung gegen die Exponentialverteilung mit Parameter $\begin{eqnarray} \lambda = 1 \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: $\begin{eqnarray} n X_i \sim U(0,n) \end{eqnarray}$ D.h. die Grenzen der Exponentialverteilung sind erfüllt für $\begin{eqnarray} lim_{n \to \infty} \end{eqnarray}$ . Meine Idee: $\begin{eqnarray} \mathbb{P}(n \cdot min_{k \in \mathbb{N}} X_k \le x) = \mathbb{P} \left( \bigcap_{k \in \mathbb{N}} \left\{ X_k \le \frac{x}{n} \right\} \right) \end{eqnarray}$ wegen Unabhängigkeit $\begin{eqnarray} = \prod_{k \in \mathbb{N}} F_{X_k}\left( \frac{x}{n} \right) = \prod_{k \in \mathbb{N}} \frac{x}{n} \end{eqnarray}$ Das sieht folgender Darstellung von $\begin{eqnarray} e^x \end{eqnarray}$ sehr ähnlich, wenn man n gegen unendlich gehen lässt: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{x}{n} \right)^n = e^x \end{eqnarray}$ Die Exponentialverteilung mit Parameter 1 hat aber als Dichte: $\begin{eqnarray} e^{-x} \end{eqnarray}$ . Ich weiß nicht mehr weiter. Ich hoffe jemand kann mir weiterhelfen.
26.06.2015, 12:44	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Du bist an einer entscheidenden Stelle im Irrtum: $\begin{align} \left\{ \min\limits_{k\in\mathbb{N}} X_k \leq \frac{x}{n} \right\} \end{align}$ ist nicht identisch mit $\begin{align} \bigcap\limits_{k\in\mathbb{N}} \left\{ X_k \leq \frac{x}{n} \right\} \end{align}$ , sondern mit $\begin{align} \bigcup\limits_{k\in\mathbb{N}} \left\{ X_k \leq \frac{x}{n} \right\} \end{align}$ . Dementsprechend musst du deine Rechnung anpassen (Komplement betrachten!).
26.06.2015, 15:43	0durch0ist27	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank. Eine Frage habe ich noch. Es gilt also: $\begin{eqnarray} \mathbb{P}(Y_n \le x) = \mathbb{P} \left( \bigcup_{k \in \mathbb{N}} \left\{ X_k \le \frac{x}{n} \right\} \right) = 1- \mathbb{P} \left( \bigcap_{k \in \mathbb{N}} \left\{ X_k > \frac{x}{n} \right\} \right) = 1 - \prod_{k \in \mathbb{N}} \mathbb{P} \left( X_k > \frac{x}{n} \right) = 1 - \prod_{k \in \mathbb{N}} \left(1 - \frac{x}{n}\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = 1 - \lim_{k \to \infty} \left( 1 - \frac{x}{n} \right)^k \end{eqnarray}$ Nun muss es aber $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{x}{n} \right)^n \end{eqnarray}$ sein und nicht $\begin{eqnarray} \lim_{k \to \infty} \left( 1 - \frac{x}{n} \right)^k \end{eqnarray}$ . Mir ist klar, dass dies durch die am Anfang geforderte Konvergenz geschehen muss. Damit aber die Rechnung von eben durchgeführt werden kann, muss gelten: $\begin{eqnarray} \mathbb{P}\left( \lim_{n \to \infty} Y_n \le x \right) = \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}(Y_n \le x) \end{eqnarray}$ . Gilt das und wenn ja warum?
26.06.2015, 20:46	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Erst jetzt sehe ich mir die gesamte Rechnung an: Dein $\begin{align} \bigcup\limits_{k\in\mathbb{N}} \end{align}$ ist natürlich Blödsinn und muss überall durch $\begin{align} \bigcup\limits_{k=1}^n \end{align}$ ersetzt werden. Eine unendliche Vereinigung an der Stelle macht nicht den geringsten Sinn - der Grenzprozess $\begin{align} n\to\infty \end{align}$ greift an anderer Stelle.
28.06.2015, 11:32	0durch0ist27	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf ein Neues: Stimmt die Rechnung jetzt? Vielen Dank für die bisherige Hilfe. $\begin{eqnarray} \mathbb{P} \left( \lim_{n \to \infty} Y_n \le x \right) = \mathbb{P} \left( \lim_{n \to \infty} \bigcup_{i=1}^n \left\{ X_i \le \frac{x}{n} \right\} \right) \stackrel{?}{=} \mathbb{P}\left( \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \left\{ X_n \le \frac{x}{n} \right\} \right) = 1 - \mathbb{P}\left( \bigcap_{n \in \mathbb{N}} \left\{ X_n > \frac{x}{n} \right\} \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = 1 - \prod_{n \in \mathbb{N}} \mathbb{P} \left( \left\{ X_n > \frac{x}{n} \right\} \right) = 1- \prod_{n \in \mathbb{N}} \left( 1 - \mathbb{P} \left( \left\{ X_n \le \frac{x}{n} \right\} \right) \right) = 1- \prod_{n \in \mathbb{N}} \left( 1 - \frac{x}{n} \right) = 1 - \lim_{n \to \infty} \left( 1- \frac{x}{n} \right)^n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = 1 - e^{-x} \end{eqnarray}$
28.06.2015, 11:49	0durch0ist27	Auf diesen Beitrag antworten »
Obige Rechnung ist natürlich Blödsinn. Sorry. Jetzt nochmal in korrigierter Form. $\begin{eqnarray} \mathbb{P} \left( \lim_{n \to \infty} Y_n \le x \right) = \mathbb{P} \left( \lim_{n \to \infty} \bigcup_{i=1}^n \left\{ X_i \le \frac{x}{n} \right\} \right) \stackrel{?}{=} \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}\left( \bigcup_{i=1}^n \left\{ X_i \le \frac{x}{n} \right\} \right) = \lim_{n \to \infty} 1 - \mathbb{P}\left( \bigcap_{i=1}^n \left\{ X_i > \frac{x}{n} \right\} \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \lim_{n \to \infty} 1 - \prod_{i=1}^n \mathbb{P} \left( \left\{ X_i > \frac{x}{n} \right\} \right) = \lim_{n \to \infty} 1- \prod_{i=1}^n \left( 1 - \mathbb{P} \left( \left\{ X_i \le \frac{x}{n} \right\} \right) \right) = \lim_{n \to \infty} 1- \prod_{i=1}^n \left( 1 - \frac{x}{n} \right) = 1 - \lim_{n \to \infty} \left( 1- \frac{x}{n} \right)^n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = 1 - e^{-x} \end{eqnarray}$
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28.06.2015, 12:08	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum fängst du mit $\begin{eqnarray} \mathbb{P} \left( \lim_{n \to \infty} Y_n \le x \right) \end{eqnarray}$ an? Die Aufgabenstellung war von Anfang an die Konvergenz "in Verteilung" nachzuweisen, d.h. die Existenz von $\begin{align} \lim_{n\to\infty} \mathbb{P}(Y_n\leq x) \end{align}$ . Damit erübrigt sich die Diskussion um dein $\begin{align} \stackrel{?}{=} \end{align}$ .
28.06.2015, 12:44	0durch0ist27	Auf diesen Beitrag antworten »
Macht Sinn danke.
28.06.2015, 12:53	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ansonsten ist alles soweit Ok. An der Stelle $\begin{align} \lim_{n \to \infty} 1- \prod_{i=1}^n \left( 1 - \mathbb{P} \left( \left\{ X_i \le \frac{x}{n} \right\} \right) \right) = \lim_{n \to \infty} 1- \prod_{i=1}^n \left( 1 - \frac{x}{n} \right) \end{align}$ ist vielleicht noch anzumerken, dass das hierbei benutzte $\begin{align} \mathbb{P} \left( \left\{ X_i \le \frac{x}{n} \right\}\right) = \frac{x}{n} \end{align}$ nicht für alle $\begin{align} n \end{align}$ , sondern nur für $\begin{align} n\geq x \end{align}$ gilt - was natürlich angesichts des Grenzübergangs $\begin{align} \lim_{n \to \infty} \end{align}$ vollkommen reicht.
28.06.2015, 23:19	0durch0ist27	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt. Danke. Daran habe ich gar nicht gedacht.

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