Klausuraufgabe: Stochastik für Lehramtskandidaten

26.06.2015, 14:47	crushiii	Auf diesen Beitrag antworten »
Klausuraufgabe: Stochastik für Lehramtskandidaten Hey zusammen, ich sitze gerade zur Vorbereitung an "Übungsklausuren" und diversen Aufgaben und bräuchte mal ein paar Denkanstöße. Ich stelle euch am Besten mal die ganze Aufgabe zur Verfügung: Aufgabe: Sie sind Lehrer an einem Gymnasium und nehmen mit Schülerinnen der sechsten Klasse an einem Fußballturnier teil. Das erste Spiel der Gruppenphase ist gerade vorbei, die Ergebnisse werden bekanntgegeben. Als nächstes spielt ihr Team gegen eine Mannschaft vom XY-Gymnasium. Sie wissen, dass von dort zwei Mannschaften teilnehmen, eine A-Mannschaft, die sehr gut spielt, und eine B-Mannschaft, die nicht so stark ist. Sie wissen jedoch nicht, welche der beiden Mannschaften Ihr Gegner ist und welche in einer anderen Gruppe spielt. Vor dem Turnier hätten Sie die Wahrscheinlichkeit für den einen oder anderen Fall als gleich groß eingeschätzt.Jetzt erfahren Sie allerdings, dass die Mannschaft, gegen welche Sie gleich spielen werden, gerade gegen eine andere Mannschaft gewonnen hat, die bekanntermaßen gut spielt. Sie schätzen, dass die A-Mannschaft eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 60% gegen dieses Team hat, die B-Mannschaft jedoch nur 30%.(1): Für wie wahrscheinlich halten Sie es nach Erhalt dieser Information, dass die Mannschaft, gegen die Ihr Team gleich spielt, die A-Mannschaft ist; mit welcher Wahrscheinlichkeit ist es die B-Mannschaft Begründen Sie ihre Rechnungen)(2): Erläutern Sie, was man unter einem "frequentistischen" und einem "subjektivistischen" (oder "subjektiven") Wahrscheinlichkeitsbegriff versteht und grenzen Sie diese Sichtweisen gegeneinander ab. Welche Stellung nimmt der axiomatische Ansatz, wie wir ihn in der Vorlesung verfolgt haben, im Verhältnis zu diesen Begriffen ein Hinweis: Gehen Sie vereinfachend davon aus, dass Fußballspiele immer nur gewonnen oder verloren werden, dass es also kein Unentschieden gibt.) Wie gehe ich da nun am Besten ran? Also ich würde zunächst den "Satz von Bayes" probieren. Ich definiere mir etwas unformal die Ereignisse: M_1 := "A-Mannschaft" M_2 := "B-Mannschaft" G := "Gewinner" V := "Verlierer" Gesucht ist nun $\begin{eqnarray} \mathbb{P}(M_1 \| G) \end{eqnarray}$ Die Voraussetzungen für den Satz von Bayes sind offensichtlich erfüllt, denn: $\begin{eqnarray} \mathbb{P}(M_i) > 0 \; i = 1,2 \end{eqnarray}$ und die Ereignisse M_1 und M_2 bilden eine Partition meiner Ergebnismenge (bestehend aus den beiden Mannschaften). Die bedingten Wahrscheinlichkeiten, die mir bekannt sind, sind also: $\begin{eqnarray} <br /> \mathbb{P}(G \| M_1) = 0,6 \\<br /> \mathbb{P}(V \| M_1) = 0,4 \\<br /> \mathbb{P}(G \| M_2) = 0,3 \\<br /> \mathbb{P}(V \| M_2) = 0,7<br /> \end{eqnarray}$ Dabei verwende ich den Hinweis, dass Spiele nur gewonnen oder verloren werden können, sonst könnte ich die Gegenwahrscheinlichkeiten ja nicht aufstellen. Also stelle ich erstmal Formal auf $\begin{eqnarray} <br /> \mathbb{P}(M_1 \| G) = \frac{\mathbb{P}(M_1) \cdot \mathbb{P}(G \| M_1)}{\sum_{k=1}^2 \mathbb{P}(M_k) \cdot \mathbb{P}(G \| M_k) } <br /> \end{eqnarray}$ Nun gehe ich davon aus, dass ich für die Teamwahrscheinlichkeiten einfach aus dem Text ziehen kann, dass diese gleichwahrscheinlich sind. Es folgt also: $\begin{eqnarray} <br /> \rightarrow \frac{0,5 \cdot 0,6 }{(0,5 \cdot 0,6) + (0,5 \cdot 0,3} = \frac{2}{3} \approx 0,66<br /> \end{eqnarray}$ Also würde ich sagen, dass mein Team mit ca. 66% Wahrscheinlichkeit gegen die A-Mannschaft spielt und dementsprechend mit ca. 33% Wahrscheinlichkeit gegen die B-Mannschaft. Leider bin ich mir absolut nicht sicher, was die Lösung hier angeht. Mit der zweiten Teilaufgabe kann ich aus dem Stand leider gar nichts anfangen, da wir diese Dinge in der Vorlesung nicht besprochen haben und der Prof hat ebenfalls den Hinweis gegeben, dass die Aufgabe 2.2 nicht für uns relevant ist. Habe sie daher nur der Vollständigkeit halber angegeben. Würdet ihr mir vielleicht ein kurzes Feedback geben, ob die Lösung korrekt ist? Ich bedanke mich schon einmal herzlich im voraus!
28.06.2015, 14:45	melianarana	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das scheint mir richtig zu sein.
29.06.2015, 12:13	crushiii	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Rückmeldung :-)

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