Differentialgleichung 1. Ordnung mit E-Funktion

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26.06.2015, 17:21	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung 1. Ordnung mit E-Funktion Meine Frage: Hallo, ich soll die Lösung der folgenden Differentialgleichung bestimmen: $\begin{eqnarray} y' = \frac{y}{x} + e^{- \frac{y}{x}} \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Ich möchte zunächst die Lösung der homogenen differentialgleicung angeben: Allerdings weiß ich nicht, wie ich die Variablenseparation ausführen soll, wenn die Exponentialfunktion "im Weg" ist. Kann man den Ausdruck y/x irgendwie geschickt substituieren?? Oder muss ich eine komplett andere Methode zum Lösen dieser Gleichung anwenden?? Für Hilfe wäre ich dankbar!! Viele Grüße Widderchen
26.06.2015, 17:29	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung 1. Ordnung mit E-Funktion Oder muss ich eine komplett andere Methode zum Lösen dieser Gleichung anwenden?? ->ja Substituiere z=y/x y=zx y'= z'x+z Setze das in die Aufgabe ein und rechne weiter.
26.06.2015, 17:32	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, vielen dank für die hilfe!! Ok, ich erhalte dann $\begin{eqnarray} y' = z + e^{-z} \end{eqnarray}$ . z ist nun von y abhängig, also frage ich mich, wie ich nun vorgehen muss?? Viele Grüße Widderchen Ah, entschuldigung, habe zu schnell geantwortet! Ok, ich erhalte die Differentialgleichung: $\begin{eqnarray} z' = \frac{1}{x} e^{-z} \end{eqnarray}$ .
26.06.2015, 17:36	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
z'=dz/dx, dann Trennung der Variablen, Resubstitution. Das wars.
26.06.2015, 17:47	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, ich denke ich habe es: Die allgemeine Lösung dieser Dgl. lautet: $\begin{eqnarray} z = \ln(e^c + \ln(x)) \end{eqnarray}$ . Ist das soweit korrekt? Viele grüße Widderchen
26.06.2015, 17:49	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
nein, Resubstituieren nicht vergessen.
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26.06.2015, 17:50	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, dann ist es: $\begin{eqnarray} y = x \cdot \ln(e^c + \ln(x)) \end{eqnarray}$
26.06.2015, 17:56	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
ja 2 Sachen noch: - beim ln (x) in der Klammer müssen Betragsstriche stehen - e^c setzt man C
26.06.2015, 18:01	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, ok vielen dank für den Hinweis!!
26.06.2015, 21:11	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung 1. Ordnung mit E-Funktion Als Nachtrag würde mich interessieren, woher aus $\begin{eqnarray} z' = \frac{1}{x} e^{-z} \end{eqnarray}$ überhaupt das in $\begin{eqnarray} z = \ln(e^c + \ln(x)) \end{eqnarray}$ folgen soll. Für meine Begriffe fällt die Konstante C hier sofort an (nicht erst durch späteres Ersetzen). Könnte ja sein, dass der Fragesteller hier falsch umgeformt hat, was sich nur zufällig nicht auswirkt.
26.06.2015, 21:35	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung 1. Ordnung mit E-Funktion Die Userin hat die Konstante mit e^c angesetzt , denke, warum auch immer. Sicher hätte man auch gleich das C nehmen können, fällt sofort an, ja Aber man kann ja auch ln(c) nehmen. Das Ergebnis stimmt aber.
26.06.2015, 21:40	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung 1. Ordnung mit E-Funktion Danke. Meine nur, Widderchen sollte hier für die Zukunft nochmal prüfen, ob es sich nicht um einen Rechenfehler handelte, der bei Logarithmengesetzen ja gerne auftritt.
26.06.2015, 21:45	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Trennung der Variablen führt zu $\begin{eqnarray} e^z dz = \frac{dx}{x} \end{eqnarray}$ . Integration dieses Ausdrucks lieferte mir dann: $\begin{eqnarray} e^z - e^c = \ln x \end{eqnarray}$ woraus das oben genannte Resultat hergeleitet werden konnte. Viele Grüße Widderchen
29.06.2015, 10:00	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \int_{}^{} \! e^z \, dz = \int_{}^{} \! \frac{1}{x} \, dx \end{eqnarray}$ liefert mir $\begin{eqnarray} e^z+C_{1} =ln\| x \|+C_{2} \end{eqnarray}$ wobei man dann halt $\begin{eqnarray} C_{1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} C_{2} \end{eqnarray}$ (rechts) zu $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ zusammenfaßt. Die Notwendigkeit des $\begin{eqnarray} e^c \end{eqnarray}$ bleibt mir daher bisher noch unklar . (Ich frag nur privat, aber ein Prof. könnte ja mal amtlich fragen ...)
29.06.2015, 15:26	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ja gut, dann setze ich einfach $\begin{eqnarray} C' := e^c \end{eqnarray}$ . Das ist reine Notationssache, ändert aber nichts an dem Resultat! Viele Grüße Widderchen
29.06.2015, 15:43	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hätte halt nur wissen mögen, wieso man überhaupt $\begin{eqnarray} e^c \end{eqnarray}$ schreibt, wenn von vornherein jede beliebige Konstante möglich ist. Da $\begin{eqnarray} e^c \end{eqnarray}$ aber nicht gerade "zufällig" gewählt aussieht, mußte ich vermuten, dass es aus einer falschen Rechenoperation stammen könnte.

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