Isometrien im R³

26.06.2015, 18:39

Jefferson1992

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Isometrien im R³

Hey Leute,

Ich komme mit den Isometrien im R³ nicht klar.

Habe folgende Definition im Skript:

[attach]38562[/attach]

Aber ich komme da voll nicht klar mit...

Vielleicht können wir es an dieser Beispielaufgabe durchgehen:

Zeigen Sie, dass A eine Drehung ist und bestimmen Sie Drehwinkel und Drehachse.

$\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{\sqrt{6} } \left(\begin{vmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 0 & \sqrt{3} & -\sqrt{3} \\ \sqrt{2} & \sqrt{2} & \sqrt{2} \end{vmatrix} \right) \end{eqnarray*}$ ohne Betragsstriche.

Danke!!!

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27.06.2015, 02:04

Luscinia

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Huhu

Wink

ich habe es noch nicht selbst durchgerechnet, weil mir die Zahlen dafür um ehrlich zu sein etwas zu unhandlich sind, aber versuche es mal so:

Bestimme die komplexen Eigenwerte von $\begin{align*} A \end{align*}$ . Einer davon sollte dann $\begin{align*} 1 \end{align*}$ sein, sonst ist die Aufgabe nicht lösbar. Die beiden anderen liegen, wenn sie nicht reell sind, in der Form $\begin{align*} \lambda,\bar\lambda \end{align*}$ für ein $\begin{align*} \lambda\in\mathbb C \end{align*}$ vor. Wähle einen Eigenvektor $\begin{align*} v \end{align*}$ von $\begin{align*} \lambda \end{align*}$ . Setze dann $\begin{align*} v_1 \end{align*}$ als den Eigenvektor zum Eigenwert $\begin{align*} 1 \end{align*}$ und weiter $\begin{align*} v_2 := v+\bar v, v_3 := \frac{1}{i}(v-\bar v) \end{align*}$ . Normiere sie und schreib sie in eine Matrix und konjugiere damit. Dann solltest du eine Matrix der in dem Satz angegebenen Form erhalten.

(Die Definition gefällt mir übrigens überhaupt nicht.. warum wird das nur im $\begin{align*} \mathbb R^3 \end{align*}$ definiert und dann auch noch so seltsam..)

Übrigens: eine gewöhnliche Matrix erzeugt man in Latex mit \begin{pmatrix}...\end{pmatrix}. Das mit \left ... usw. kannst du dir dann auch sparen.

27.06.2015, 12:17

Jefferson1992

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Hey Sabrina smile

smile

Erstmal Danke smile

smile

Ja mir gefällt die Definition auch nicht Big Laugh

Big Laugh

Wie gesagt, diese Vorlesung ist voll fürn ..

Da wir Eigenwerte noch nicht gemacht haben, darf ich das auch nicht verwenden.

Habe hier mal die Musterlösung. Die ich selbstverständlich nicht verstehe.
Vielleicht kannst du damit ja etwas anfangen traurig

traurig

[attach]38565[/attach]

27.06.2015, 14:23

Luscinia

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Also zuerst wird nachgewiesen, dass es sich um eine orthogonale Matrix handelt, kann man nach Satz 2.11(1) dadurch machen, dass man zeigt, dass die Spalten eine Orthonormalbasis sind, was das gleiche ist, wie $\begin{align*} AA^T = I \end{align*}$ zu zeigen.
Also wissen wir schonmal, dass $\begin{align*} A \end{align*}$ nur noch eine Drehung oder Drehspiegelung sein kann.

Danach wird der letzte Abschnitt in dem Satz benutzt. Wenn du die Spur von $\begin{align*} A \end{align*}$ bestimmst, findest du heraus, dass der Drehwinkel nicht 0° oder 180° sein kann, da sonst die Spur ganzzahlig sein müsste. Dieses Argument fehlt in der Musterlösung! Übrigens bezeichnet man Winkel normal im Bogenmaß, da sollte im Buch also eigentlich $\begin{align*} 0,\pi \end{align*}$ , statt 0°,180° stehen. Danach wird der Vektor $\begin{align*} v = (a_{23}-a_{32}, a_{31}-a_{13}, a_{12}-a_{21}) \end{align*}$ bestimmt und $\begin{align*} Av \end{align*}$ berechnet. Durch den Satz wissen wir, dass da nun nur $\begin{align*} v \end{align*}$ oder $\begin{align*} -v \end{align*}$ herauskommen kann, weil $\begin{align*} A \end{align*}$ eine Drehung oder eine Drehspiegelung ist und solche Matrizen die Drechrichtung festhalten (bei einer Drehung) oder genau umkehren (bei einer Drehspiegelung).
Hier ist ersteres der Fall, also ist es eine Drehung.

Letztendlich wird dann die Formel für den Winkel benutzt, die besagt, dass $\begin{align*} Spur(A) = 1+2\cos(\varphi) \end{align*}$ . Die Spur kennst du, also kannst du $\begin{align*} \varphi \end{align*}$ bestimmen. Hilft dir das weiter?

27.06.2015, 15:04

Jefferson1992

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Hey.

Danke, du bist so großartig.
Warum drücken die das in dem Buch so kompliziert aus. Meine Güte.

Habe mal angefangen:

Erstmal beweisen, dass A orthogonal ist:

$\begin{eqnarray*} A*A^{T}=I \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6}*\left[\begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 0 & \sqrt{3} & -\sqrt{3} \\ \sqrt{2} & \sqrt{2} & \sqrt{2} \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 2 & 0 & \sqrt{2} \\ -1 & \sqrt{3} & \sqrt{2} \\ -1 & -\sqrt{3} & \sqrt{2} \end{pmatrix} \right] =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist also schon mal orthogonal.

Jetzt Zwischenfrage:

$\begin{eqnarray*} Spur(A)=1+2\cos(\phi) \end{eqnarray*}$

Heißt das ich nehme aus der Matrix, die in meinem Buch steht die Stelle an der $\begin{eqnarray*} \cos(\phi) \end{eqnarray*}$ steht und schaue was dort in meiner Matrix A steht?

Also:

$\begin{eqnarray*} Spur(A)=1+2*\frac{\sqrt{2} }{2} \end{eqnarray*}$

Habs kapiert Big Laugh

Big Laugh

Ich schaue, was in meiner Matrix steht. Da steht ja $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ . Wenn $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ 0 oder $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ wäre, dann würde da 1 oder -1 stehen, richtig? Deshalb kann dann den Vektor v aufstellen.

27.06.2015, 15:27

Luscinia

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Die Spur einer Matrix ist die Summe ihrer Diagonaleinträge. Die ist bei dir doch nicht $\begin{align*} 1+\sqrt{2} \end{align*}$ verwirrt

verwirrt

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27.06.2015, 15:32

Jefferson1992

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Sorry, habe falsch gedacht.

Dachte ich könnte das $\begin{eqnarray*} \cos(\phi) \end{eqnarray*}$ in der Gleichung $\begin{eqnarray*} Spur(A)=1+2\cos(\phi) \end{eqnarray*}$ ersetzen durch den EIntrag in der Matrix Hammer

Hammer

Okay.

Also $\begin{eqnarray*} Spur(A)= 2+\sqrt{3}+\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Wenn der Winkel $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ 0 oder $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ wäre, dann wäre die Spur ganzzahlig.

Dann kann ich also den Vektor v anwenden. Zwischenfrage: Wie kommt man an den? Ist der einfach definiert worden oder kann man da irgendwie drankommen?

Jetzt habe ich eine ganz triviale und dumme Frage: Wie berechne ich $\begin{eqnarray*} A(v) \end{eqnarray*}$ ?

Danke dir!

27.06.2015, 15:36

Luscinia

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Da hast du bei der Spur den Faktor $\begin{align*} \frac{1}{\sqrt{6}} \end{align*}$ vergessen.

Der Vektor $\begin{align*} v \end{align*}$ stammt aus dem Satz. Man kann wohl zeigen, dass man bei jeder Drehmatrix oder Drehspiegelung im $\begin{align*} \mathbb R^3 \end{align*}$ die Drehrichtung genau auf diese Art bestimmen kann. Das wusste ich vorher auch nicht. Es sollte aus dem Beweis des Satzes hervorgehen.

$\begin{align*} A(v) \end{align*}$ ist einfach das Produkt der Matrix $\begin{align*} A \end{align*}$ mit dem Vektor $\begin{align*} v \end{align*}$ . Wie man eine Matrix mit einem Vektor multipliziert hattet ihr aber oder?

27.06.2015, 16:15

Jefferson1992

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ach mist.

So jetzt aber richtig:

$\begin{eqnarray*} Spur(A)= \frac{1}{\sqrt{6} } *(2+\sqrt{3}+\sqrt{2}) <br /> \end{eqnarray*}$
Dann Vektor v aufstellen laut Definition:

$\begin{eqnarray*} v=\frac{1}{\sqrt{6} } * \begin{pmatrix} -\sqrt{3}-\sqrt{2} \\\sqrt{2}+1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und dann:

$\begin{eqnarray*} A(v)=\frac{1}{6}*\begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 0 & \sqrt{3} & -\sqrt{3} \\ \sqrt{2} & \sqrt{2} & \sqrt{2} \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} -\sqrt{3}-\sqrt{2} \\ \sqrt{2}+1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A(v)= \frac{1}{6}* \begin{pmatrix} -2\sqrt{3}-3\sqrt{2} \\ \sqrt{6}+2\sqrt{3} \\ -\sqrt{6} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wo ist der Fehler? traurig

traurig

27.06.2015, 16:23

Luscinia

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Warum soll da ein Fehler sein? Es stimmt doch. Das, was da steht, ist doch $\begin{align*} v \end{align*}$ .

27.06.2015, 16:26

Jefferson1992

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Die Musterlösung ist anders, deshalb. Aber kann auch sein, dass die Musterlösung falsch ist.

27.06.2015, 16:30

Luscinia

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In der Musterlösung wurde statt deinem $\begin{align*} v \end{align*}$ stattdessen $\begin{align*} \sqrt{6}v \end{align*}$ verwendet. Das geht natürlich auch, weil die Richtung sich durch Skalarmultiplikation nicht ändert. Wichtig ist doch nur, dass $\begin{align*} Av = v \end{align*}$ bestätigt wurde.

27.06.2015, 16:38

Jefferson1992

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okay.

Also nochmal zum Verständnis:

1. Schritt Schauen, ob die Matrix Orthogonal ist durch $\begin{eqnarray*} A*A^{T}=I \end{eqnarray*}$
2. Schritt $\begin{eqnarray*} Spur(A) \end{eqnarray*}$ berechnen -> Summe der Hauptdiagonalelemente
3. Schritt Schauen, ob $\begin{eqnarray*} Spur A \end{eqnarray*}$ ganzzahlig ist
4. Schritt $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ bestimmen und $\begin{eqnarray*} A(v) \end{eqnarray*}$ ausrechen
5. Schritt Schauen ob $\begin{eqnarray*} A(v)=v \end{eqnarray*}$ ist --> Drehung, wenn $\begin{eqnarray*} A(v)=-v \end{eqnarray*}$ --> Drehspiegelung
6. Schritt Winkel berechen durch $\begin{eqnarray*} Spur(A)=1+2 \cos(\phi) \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich noch eine triviale Frage:

Bei meiner Aufgabe komme ich beim Winkel auf:

$\begin{eqnarray*} 1+2\cos(\phi)=\frac{1}{\sqrt{6} }*\begin{pmatrix} 2 \\ \sqrt{3}\\ \sqrt{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} \arccos(0,5504678...=0,9878 \end{eqnarray*}$

Wie kann ich diese 0,98.. in $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ausdrücken?

27.06.2015, 16:50

Luscinia

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} 1+2\cos(\phi)=\frac{1}{\sqrt{6} }*\begin{pmatrix} 2 \\ \sqrt{3}\\ \sqrt{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hier soll bestimmte die Summe statt einem Vektor stehen. Dein Winkel ist bereits im Bogenmaß angegeben, weil dein Taschenrechner ihn so ausgegeben hat. Um auf den Winkel in der Musterlösung zu kommen musst du deinen mit $\begin{align*} \frac{180}{\pi} \end{align*}$ multiplizieren.

Dann noch etwas zu diesem Schritt:
3. Schritt Schauen, ob $\begin{eqnarray*} Spur A \end{eqnarray*}$ ganzzahlig ist

Wenn die Spur nicht ganzzahlig ist, kannst du davon ausgehen, dass der Drehwinkel nicht $\begin{align*} 0,\pi \end{align*}$ ist. Ist sie allerdings ganzzahlig, kannst du nicht vom Gegenteil ausgehen.

Genauer müsstest du an dieser Stelle überprüfen, ob die Spur einen der Werte $\begin{align*} -3,-1,1,3 \end{align*}$ annimmt. Tut sie das, ist der Winkel $\begin{align*} 0 \end{align*}$ oder $\begin{align*} \pi \end{align*}$ , sonst nicht.

27.06.2015, 16:54

Jefferson1992

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alles klar.

Ich danke dir!

Jetzt habe ich aber noch eine Verständnisfrage:

Aufgabe: Berechnen Sie die Matrix der Spiegelung in der Ebene x_{1}+x_{2}-x_{3}=0

Wie würde ich da rangehen?

27.06.2015, 17:00

Luscinia

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Mach dazu vielleicht am besten einen neuen Thread auf, ich muss nämlich jetzt erstmal los. Schreib am besten auch die zugehörigen Definitionen mit rein, die weichen bei euch ja meistens etwas von der Norm ab Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.06.2015, 17:05

Jefferson1992

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okay danke dir smile

smile

LG

Chris

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