Polynominterpolation im mehrdimensionalen Raum

26.06.2015, 19:33	Nadia.She	Auf diesen Beitrag antworten »
Polynominterpolation im mehrdimensionalen Raum Meine Frage: Hey! Ich hänge grade an folgender Aufgabe: Bestimmen Sie ein Polynom $\begin{eqnarray} f:\mathbb R ^2\Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ mit Totalgrad $\begin{eqnarray} \geq 2 \end{eqnarray}$ , welches $\begin{eqnarray} f(0,0)=0, f(0,1)=0, f(1,0)=1, f(1,1)=0 \end{eqnarray}$ erfüllt und dessen Hessematrix Diagonaleinträge 0 hat. Gibt es ein solches Polynom von Totalgrad $\begin{eqnarray} \leq 1 \end{eqnarray}$ ? Meine Ideen: Normalerweise hätte ich die Aufgabe mit der Lagrangeschen Interpolationsformel gelöst, aber ich komme nicht wirklich darauf, was denn jetzt meine Punkte sind und wie ich mit denen rechnen soll. Wäre lieb, wenn mir jemand einen Ansatz geben könnte.
27.06.2015, 16:04	epsilon90	Auf diesen Beitrag antworten »
Man muss dann auch ein Polynom nehmen, welches von zwei Variablen abhängt. Sei zum Beispiel $\begin{eqnarray} P(x,y)=ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f \end{eqnarray}$ Die Hessematrix dieser Funktion ist $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}a & c \\ c & b \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Nun sollen die Diagonaleinträge gleich Null sein, also $\begin{eqnarray} a=b=0 \end{eqnarray}$ . Aus der ersten Bedingung folgt dann $\begin{eqnarray} f=0 \end{eqnarray}$ und man kommt dann auf $\begin{eqnarray} P(x,y)=-xy+x \end{eqnarray}$ . Nun zur zweiten Frage: Totalgrad 1 sieht so aus. $\begin{eqnarray} P(x,y)=ax+by+c \end{eqnarray}$ Geht man Bedingungen durch, so erhält man einen Widerspruch.
06.07.2015, 15:04	Nadia.She	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke

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