Was tut diese Matrix im R³?

26.06.2015, 23:06	matheasss	Auf diesen Beitrag antworten »
Was tut diese Matrix im R³? Meine Frage: Hi Leute, einer meiner Aufgaben beinhaltet die Frage, was diese Funktion mit einem Vektor aus dem R³ tut: $\begin{eqnarray} f(x,y,z)=\begin{pmatrix} cos(a) & -sin(a) & 0 \\ sin(a) & cos(a) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Durch probieren gehe ich davon aus, dass die Matrix den Vektor um den Winkel a um die z-Achse gegen den Uhrzeigersinn dreht. Man kann das 2-dimensional veranschaulichen, weil die Matrix die z-Komponente nicht verändert (schätze ich). Man gucke sich das Bild an: a=der Winkel; r=der Betrag, der gleich bleibt. Sehe ich das richtig? Wie formulier ich das besser? Schwierigkeiten habe ich mit dem Winkel, weil ich nicht weiß, wo der liegt und daher mit dem sinus und cosinus nicht viel anfangen kann, vielleicht kann mir das jemand besser erklären, bzw. wie man da ran gehen sollte, um zu sehen, was da geschieht.
26.06.2015, 23:52	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, wenn du die Matrizenmultiplikation ausführst, erhältst du das Resultat: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \cos(\alpha) & - \sin(\alpha) & 0 \\ \sin(\alpha) & \cos(\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(\alpha)x - \sin(\alpha)y \\ \sin(\alpha)x + \cos(\alpha) y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Diese Matrix stellt eine Drehmatrix (mit der Determinante 1) dar, und führt eine Drehung um den Winkel Alpha in der $\begin{eqnarray} x y \end{eqnarray}$ - Ebene aus. Die z-komponente bleibt bei der Drehung erhalten. Ich hoffe, diese Information war hilfreich. Viele Grüße Widderchen
27.06.2015, 00:08	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
@Widderchen: was macht eigentlich der Zylinderstumpf in Kugelkoordinaten ?
27.06.2015, 00:36	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Dopap, Es musste einfach das folgende Volumenintegral gelöst werden: $\begin{eqnarray} \int_{0}^{2 \pi} \! d\phi \int_{0}^{\pi/4} \! d\theta \int_{\frac{a}{cos(\theta)}}^{\frac{2a}{cos(\theta)}} \! dr r^2 \sin(\theta) = \frac{7 \pi a^3}{3} \end{eqnarray}$ Den Winkel für Theta konnte man aus der folgenden Bedingung herleiten, indem man die Komponenten der Kegelstumpfgleichung x, y und z durch ihre Kugelkoordinatendarstellung ersetzte: $\begin{eqnarray} z^2 = x^2 + y^2 = r^2 sin^2(\theta) = r^2 \cos^2(\theta) \end{eqnarray}$ . Die Grenzen für r ergeben sich auch leicht aus der Bedingung: $\begin{eqnarray} a \leq r \cos(\theta) \leq 2a \end{eqnarray}$ . Viele Grüße Dopap, Widderchen
27.06.2015, 00:46	matheasss	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort(en) Ich denke, dass das nach der ersten Antwort für mich irrelevant ist Also lag ich richtig, mit dem, was die Matrix tut. Wie sieht man das, ohne irgendeine Probe zu machen? Wie schon geschrieben, habe ich das Problem mit dem Winkel a und den cos() und sin() "Anteilen", die kann ich mir da nicht vorstellen. cos() und sin() habe ich bisher eigentlich nur wirklich in der Technischen Mechanik genutzt, um x- und y- Komponente auszurechnen, daher mein beschränktes Denken
27.06.2015, 12:41	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ja, du hast Recht, der letzte Post ist für dich irrelevant! Diese Matrix führt eine Drehung in der xy-Ebene aus, die z-Komponente des Vektors bleibt - wie bereits erwähnt - unverändert. Man erkennt dies insbesondere auch an der Matrix selbst, wenn man sich die Spalten der Matrix betrachtet. Da dir die trigonometrischen Funktionen cos(x) und sin(x) noch nicht allzu oft begegnet sind, empfehle ich dir, sich nochmal damit auseinanderzustzen. Äußerst hilfreich kann hier auch der Begriff des "Einheitskreises" sein, da dieser im Grunde durch diese beiden trigonometrischen Funktionen mathematisch beschrieben werden kann. Man erhält dann eine "Parameterdarstellung" des Einheitskreises, bspw. in der xy-Ebene: $\begin{eqnarray} \vec{r}(\alpha) = \begin{pmatrix} \cos(\alpha) \\ \sin(\alpha) \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Ich hoffe, das war hilfreich! Viele Grüße Widderchen
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