Stammfunktion mittels Partialbruchzerlegung bilden

27.06.2015, 14:32

Rivago

Stammfunktion mittels Partialbruchzerlegung bilden

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x - 27}{x^3 - 2x^2 - 3x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_1^2 \frac{x - 27}{x^3 - 2x^2 - 3x} \end{eqnarray*}$

Ich hab die Nullstellen des Nenners bestimmt, welche lauten: $\begin{eqnarray*} x_1 = 0 \ \, x_2 = 3 \ \, x_3 = -1 \end{eqnarray*}$

Und nun kann man ja umschreiben in $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x - 27}{x(x - 3)(x + 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 3} + \frac{C}{x + 1} \end{eqnarray*}$

Da ich leider nicht mehr weiß, wie das mit der Zuhaltemethode funktioniert, muss ich ja nun alles zusammenfassen..

$\begin{eqnarray*} \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 3} + \frac{C}{x + 1} = \frac{A(x^2 - 2x - 3) + B(x^2 + x) + C(x^2 - 3x)}{x^3 - 2x^2 - 3x} \end{eqnarray*}$

Bloß wie macht man nun weiter? Muss ich jetzt alles ausmultiplizieren?

27.06.2015, 15:19

mYthos

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Japp! Aber es ist überschaubar.
Dann --> Koeffizientenvergleich.
----------
"Zuhaltemethode" hab' ich so noch nicht gehört, aber es wird wohl das sein:
Mit dem gemeinsamen Nenner multiplizieren

A(x - 3)(x + 1) + B x (x + 1) + C x (x - 3) = x - 27

x = 0: --> -3A = -27 --> ..
x = 3: --> 12B = -24 ...
x = -1: ..

Das ist klarerweise schon etwas einfacher ..

mY+

27.06.2015, 15:44

Rivago

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Ja ich glaube das ist es smile

Damit konnte ich es lösen..

Mal noch auf anderem Weg, wenn ich das ausmultipliziere..

$\begin{eqnarray*} = \frac{Ax^2 - 2Ax - 3A + Bx^2 + Bx + Cx^2 - 3Cx}{x^3 - 2x^2 - 3x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{(A + B + C)x^2 + (-2A + B - 3C)x - 3A}{x^3 - 2x^2 - 3x} \end{eqnarray*}$

Und jetzt muss

$\begin{eqnarray*} (A + B + C)x^2 = 0 \end{eqnarray*}$ ...

$\begin{eqnarray*} (-2A + B - 3C)x = 1 \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} - 3A = -27 \end{eqnarray*}$

sein, oder?

Das A kann man ja sofort ablesen, A = 9.

Wie geht es nun mit dem Rest? Setz ich da für x eine der Nullstellen ein?

27.06.2015, 17:42

mYthos

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Zitat:

Original von Rivago
...
Und jetzt muss

$\begin{eqnarray*} (A + B + C)x^2 = 0 \end{eqnarray*}$ ...

$\begin{eqnarray*} (-2A + B - 3C)x = 1 \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} - 3A = -27 \end{eqnarray*}$

sein, ...
...

Nein, so nicht! Es sind nur die Koeffizienten (!) zu vergleichen! Also

$\begin{eqnarray*} A + B + C = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2A + B - 3C = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} - 3A = -27 \end{eqnarray*}$

Und was ist dies dann? Richtig, ein lGS mit den 3 Unbekannten A, B, C.
Du weisst, wie man dieses auflöst?

mY+

27.06.2015, 18:05

Rivago

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Ja, das krieg ich hin, danke Wink

Noch was allgemeines: Woher weiß man, dass man Partialbruchzerlegung machen muss? Erkennt man das irgendwo ran?

Wieso durfte/konnte man sie hier Stammfunktion bilden nicht anweden?

27.06.2015, 21:27

mYthos

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Bei der Partialbruchzerlegung versucht man, den Nenner des gebr. rat. Polynomes in Linearfaktoren zu zerlegen.
Die Linearfaktoren werden mittels der Lösungen beim Nullsetzen des Nenners ermittelt.
Bei der Integration werden die Kehrwerte der Linearfaktoren zusammen mit den Koeffizienten zu logarithmischen Funktionen integriert.
Wenn die Linearfaktoren reell sind, gibt es keine weiteren Schwierigkeiten.
Komplexe Partialbrüche würden jedoch unangenehm sein, weil die Logarithmen dann ebenfalls komplex wären.
Komplexe Lösungen treten allerdings immer als paarweise konjugiert komplex auf, daher kann man diese mit reellem Nenner zusammenfassen.
Dabei macht man als Partialbruch den Ansatz

$\begin{eqnarray*} \ldots = \frac{Ax + B}{x^2 + px + q} + \ldots \end{eqnarray*}$

In deinem Beispiel hat der Nenner keine reellen Nullstellen, er ist daher NICHT in reelle Linearfaktoren zerlegbar und ist ausserdem nur quadratisch,
somit liegt schon die einfachste Form vor und man muss die dort beschriebenen Integrationsmethoden anwenden.

mY+

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