Ringhomomorphismen Q --> Q

27.06.2015, 15:02	AlphaSchaf	Auf diesen Beitrag antworten »
Ringhomomorphismen Q --> Q Meine Frage: Hallo Leute, ich knobel gerade an folgender Aufgabe herum: Zeigen Sie, dass ein Ringhomomorphismus $\begin{eqnarray} f: (\mathbb Q, + ,\cdot) \rightarrow (\mathbb Q, + ,\cdot) \end{eqnarray}$ entweder die Nullabbildung oder die Identität ist. Meine Ideen: Mein Ansatz Sei $\begin{eqnarray} f: (\mathbb Q, + ,\cdot) \rightarrow (\mathbb Q, + ,\cdot) \end{eqnarray}$ ein Ringhomomorphismus. 1. Fall: $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist die Nullabbildung. Dann sind wir fertig. 2. Fall: $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist nicht die Nullabbildung. Zeige, dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ dann nur die Identität sein kann. Wenn $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ nicht die Nullabbildung ist, dann existiert ein $\begin{eqnarray} r \in \mathbb Q \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(r) \neq 0 \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ Ringhomomorphismus sein soll, muss weiterhin $\begin{eqnarray} \forall r_1, r_2 \in \mathbb Q \end{eqnarray}$ gelten: 1. $\begin{eqnarray} f(r_1 + r_2) = f(r_1) + f(r_2) \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} f(r_1 \cdot r_2) = f(r_1) \cdot f(r_2) \end{eqnarray}$ Aber dann komme ich nicht weiter. Ich bin mir auch gar nicht sicher ob man mit diesem Ansatz überhaupt irgendwohin gelangen kann. Für einen Tipp wäre ich sehr dankbar
27.06.2015, 15:12	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, eine Idee: Zeige zuerst, dass $\begin{eqnarray} f(1) = 1 \end{eqnarray}$ gelten muss (natürlich nur, wenn f nicht die Nullabbildung ist). Folgere sukzessive, dass $\begin{eqnarray} f(x) = x \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x\in\mathbb N \end{eqnarray}$ , dann für $\begin{eqnarray} x\in \mathbb Z \end{eqnarray}$ und schließlich für $\begin{eqnarray} x\in\mathbb Q \end{eqnarray}$ .
27.06.2015, 15:12	Captain Kirk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, sei r=a/b. Zeige: $\begin{eqnarray} f(a) \neq 0, f(1/b) \neq 0, f(r^{-1}) \neq 0, f(1) =1. \end{eqnarray}$
28.06.2015, 01:02	AlphaSchaf	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß leider nicht so recht wie ich das zeigen kann Also angefangen bei $\begin{eqnarray} f(1)=1 \end{eqnarray}$ . Wie gehe ich da am besten heran?
28.06.2015, 06:40	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo, ...indem du ausnutzt, das gilt f(1)=f(11)=f(1)f(1). Du musst allerdings noch begründen, das f(1) nicht 0 sein kann. gruss ollie3

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