komplexer logarithmus

27.06.2015, 17:45

Logarithmus93

komplexer logarithmus

Die Aufgabe besteht darin den log. von $\begin{eqnarray*} 10^{i} \end{eqnarray*}$ zu bestimmen

Mein Ansatz dazu :

z = 10^i

$\begin{eqnarray*} 10^i ) = 3,16 * e^{ik*2\pi } \end{eqnarray*}$

27.06.2015, 17:50

Logarithmus93

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ich korrigiere 10 ^2 und davon die Wurzel ist

r =10

$\begin{eqnarray*} 10^i = 10 * e^{ik*2\pi } \end{eqnarray*}$

27.06.2015, 18:00

mYthos

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Das ist falsch.
Übrigens ist i NICHT $\begin{eqnarray*} e^{2ik\pi} \end{eqnarray*}$

Besser:
Die Logarithmengesetze gelten wie im Reellen.

$\begin{eqnarray*} \ln 10^i = i \cdot \ln 10 \end{eqnarray*}$

mY+

27.06.2015, 18:02

Logarithmus93

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[latex] log ( 10^i) = i * log ( 10 )

das muss ich dann in die Expo. Darstellung bringen, so bekomme ich nur den Hauptwert von = 1* i

aber wir bekomme ich diese Darstellung in die Expo. Form

27.06.2015, 18:07

mYthos

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$\begin{eqnarray*} r = \ln 10 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ musst du RICHTIG (!) in die e-Potenz umformen!

mY+

27.06.2015, 18:12

Logarithmus93

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bei der Aufgabe suchen für den log und nicht den ln....
das ist doch auch explizit erwähnt worden

$\begin{eqnarray*} \sqrt{10^2} = 10 = r \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} i * log (10) = log10 * log ( e^(0+2kpi) \end{eqnarray*}$

27.06.2015, 18:16

Logarithmus93

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$\begin{eqnarray*} phi = arctan(y/x) \end{eqnarray*}$

unser Img Teil ist 10
unser reele 1

d.h. arctan ( 10 ) = 84,28 ...

27.06.2015, 18:27

Logarithmus93

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Hätte noch einen Vorschlag....

$\begin{eqnarray*} 10^{i} = [r* e^{iphi} ]^{i} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 10^{i} = r^{i} * e^{i^2 phi} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} i log 10 = log(r^{i})* log(e^{- phi} ) \end{eqnarray*}$

27.06.2015, 19:05

mYthos

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Zitat:

Original von Logarithmus93
bei der Aufgabe suchen für den log und nicht den ln....
das ist doch auch explizit erwähnt worden
...

Nur mal langsam mit den jungen Pferden, wenn dort steht LOG, kann das alles sein!
Da müsstest du schon $\begin{eqnarray*} ^{10}\log \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \lg \end{eqnarray*}$ für den dekadischen Logarithmus hinschreiben.
In diesem Fall ist es noch einfacher

$\begin{eqnarray*} ^{10}\log 10^i = i \lg 10 = i \end{eqnarray*}$

Wenn mit $\begin{eqnarray*} \log \end{eqnarray*}$ der allgemeine Logarithmus gemeint ist, dann bleibt es bei

$\begin{eqnarray*} \log 10^i = i \log 10 \end{eqnarray*}$

Ob mit LOG oder LN, die Formeln bleiben dabei gleich!
Bei der e-Potenz hat allerdings nur der natürliche Logarithmus einen Sinn.
Das versuche ich dir schon die ganze Zeit klar zu machen. Statt dessen rechnest du unnötig kompliziert und dazu auch noch falsch, sorry.

Der Img-Teil ist auch nicht 10, das wäre er bei $\begin{eqnarray*} 10 \cdot i \end{eqnarray*}$
Und letztendlich $\begin{eqnarray*} \arctan 10 \end{eqnarray*}$ ist NICHT 84,... , da musst du das Bogenmaß (rad) nehmen, denn dieses muss in der Hochzahl der e-Potenz stehen!
Und wenn schon, müssten es rd. 132° sein.

mY+

27.06.2015, 19:32

Logarithmus93

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ja ich weiß das die e Funktion keinen Sinn hat wenn dort log steht... aber in der Aufgabe steht nunmal "log(10^i) ....

ich bin jetzt keinen Schritt weiter... ich weiß einfach nicht wie das funktioniert Tränen

27.06.2015, 19:37

Logarithmus93

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laut meinen taschenrechner ist das aber 84...
und in rad wären es 1,47 rad....

welcher Schritt oder welche Idee war den von mir richtig unglücklich

und wie mache ich das nun..

27.06.2015, 20:21

mYthos

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Du musst deswegen in rad rechnen, weil nur dies im Exponenten der e-Funktion sinnvoll ist.
Dein Taschenrechner zeigt natürlich das an, was du ihm vorher eingegeben hast, das muss ja nicht richtig gewesen sein.
Der Winkel von $\begin{eqnarray*} 10^i \end{eqnarray*}$ ist jedenfalls nicht 1,47 rad.

Es geht also zunächst darum, $\begin{eqnarray*} 10^i \end{eqnarray*}$ entsprechend umzuwandeln:
Wir setzen

$\begin{eqnarray*} 10 = e^{\ln 10} \end{eqnarray*}$

dann ist

$\begin{eqnarray*} 10^i = e^{i \ln 10} \end{eqnarray*}$

So, im Exponenten siehst du bereits den Winkel, dazu ist kein arctan nötig, und r = 1, das sieht man auch.
Den Real- bzw. Imaginärtei berechnest du nun mittels r und dem Sin bzw. Cos des Winkels, falls das interessiert.
Der Logarithmus, egal welcher, ist - wie schon mehrmals gesagt - wesentlich einfacher zu berechnen, jedenfalls ist er rein imaginär.

Verstehst du das jetzt besser?

mY+

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