Bedingter Erwartungswert

28.06.2015, 14:38	melianarana	Auf diesen Beitrag antworten »
Bedingter Erwartungswert Hallo, ich versuche gerade einen Beweis nachzuvollziehen, bei dem es um den bedingten Erwartungswert einer quadrierten Standardnormalverteilung (bzw. Chi-quadrat-verteilung) geht. Es soll für $\begin{eqnarray} t \geq 3 \end{eqnarray}$ gezeigt werden, dass $\begin{eqnarray} \mathbb{E} (Z^2 \| \|Z\| \leq t) \geq 0.97 \end{eqnarray}$ ist. Dabei wird u.a. verwendet, dass $\begin{eqnarray} \mathbb{E} (Z^2 \| \|Z\| \leq t) = 1 - \frac{t \phi (t)}{\Phi (t) - 0.5 } \end{eqnarray}$ gilt und dass dies in t wächst für t>0. Meine Frage ist: wieso? Ich habe eine solche Regel nirgendwo gefunden, geschweige denn eine Erklärung dazu... Zur Notation: $\begin{eqnarray} Z \sim N(0, 1) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \phi (x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \Phi (x) \end{eqnarray}$ sind die Dichte bzw. Verteilungsfunktion dessen. Mir ist klar, dass $\begin{eqnarray} 1 - \frac{t \phi (t)}{\Phi (t) - 0.5 } = ( \mathbb{P} (\|Z\| \leq t) - 2t \phi (t) ) / \mathbb{P} (\|Z\| \leq t) \end{eqnarray}$ , das hat mir nur noch nicht wirklich weitergeholfen
28.06.2015, 15:22	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann es ja einfach mal ausrechnen: Es ist $\begin{align} \mathbb{E}(Z^2 \mid \|Z\|\leq t) = \frac{1}{P(\|Z\|\leq t)}\cdot \int\limits_{-t}^t z^2\varphi(z) ~ \dd z \end{align}$ , im Nenner steht dann $\begin{align} \Phi(t)-\Phi(-t)=2\Phi(t)-1 \end{align}$ , und im Zähler per partieller Integration $\begin{align} \int\limits_{-t}^t z\cdot z\varphi(z) ~ \dd z = \Big[ -z\cdot \varphi(z) \Big]_{z=-t}^t + \int\limits_{-t}^t \varphi(z) ~ \dd z = -t\varphi(t)-t\varphi(-t) + \Phi(t)-\Phi(-t) = -2t\varphi(t)+2\Phi(t)-1 \end{align}$ , was dann insgesamt auf dieses $\begin{align} \mathbb{E}(Z^2 \mid \|Z\|\leq t) = 1-\frac{t\varphi(t)}{\Phi(t)-0.5} \end{align}$ führt. Dabei wird $\begin{align} \varphi'(z)=-z\cdot \varphi(z) \end{align}$ genutzt (nachrechnen!).
28.06.2015, 15:54	melianarana	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, ich hatte es auch per ausrechnen versucht, aber mit deiner Hilfe nun erkannt wo mein Fehler war

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