Fouriertransformierte im Distributionensinn

28.06.2015, 16:24	username	Auf diesen Beitrag antworten »
Fouriertransformierte im Distributionensinn Sei $\begin{eqnarray} f\in L^1(\mathbb T) \end{eqnarray}$ und bezeichne $\begin{eqnarray} \tilde f:\mathbb R\to\mathbb C \end{eqnarray}$ die zugehörige $\begin{eqnarray} 2\pi \end{eqnarray}$ -periodische Fortsetzung von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass diese temperiert ist, und dass im Distributionensinne auf $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \hat{\tilde f}=2\pi\sum_{k\in\mathbb Z}\hat f(k)\delta_k \end{eqnarray}$ . Wie geht das? Korrektur übernommen und Korrekturbeitrag, sowie diverse Pushingbeiträge entfernt. (Guppi12)
28.06.2015, 22:48	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, was hast du denn selbst schon versucht? Ohne eigene Ansätze wird es mit der Hilfe schwierig.
28.06.2015, 23:28	username	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich konnte bisher zeigen, dass $\begin{eqnarray} \tilde f \end{eqnarray}$ temperiert ist, aber zu dem anderen habe ich garkeine Idee. Kannst du mir nicht einen Ansatz geben?
28.06.2015, 23:34	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, also nimm dir $\begin{eqnarray} \psi\in \mathcal S(\mathbb R) \end{eqnarray}$ und fang auf der einen Seite an. Hier ein Anstoß $\begin{eqnarray} \langle \hat{\tilde f}, \psi\rangle = \langle \tilde f, \hat\psi\rangle = \int_{\mathbb R}\tilde f(x)\hat\psi(x) dx = \sum_{k\in\mathbb Z}\int_{2k\pi}^{2(k+1)\pi}\tilde f(x)\hat\psi(x)dx \end{eqnarray}$ . Jetzt verwende den Transformationssatz in jedem Summanden. Noch ein Tipp: irgendwo wird die Poissonsche Summationsformel eingehen.
01.07.2015, 12:21	username	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sum_{k\in\mathbb{Z}}\int_{2k\pi}^{2(k+1)\pi}\tilde f(x) \hat \psi (x)dx = \sum_{k\in\mathbb Z}\int_0^{2\pi}\tilde f(x+2k\pi)\hat \psi(x+2k\pi)dx \end{eqnarray}$ . Wie geht es jetzt weiter?
01.07.2015, 23:43	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir Leid, das ist etwas wenig Eigenleistung. Überlege selbst noch ein wenig, was man als nächstes tun könnte. Viele Möglichkeiten gibt es ja nicht
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »