Kurvendiskussion, Umkehraufgabe

28.06.2015, 15:00

Chloe2015

Kurvendiskussion, Umkehraufgabe

Problem:
Eine Wäscheleine ist an zwei gleich hohen, 6 m voneinander entfernten Punkte aufgehängt. In der Mitte hängt sie 15 cm durch. Die Form der Leine kann durch eine quadratische Funktion beschrieben werden.

Ermittle die Gleichung der Funktion (Koordinatenursprung im linken Endpunkt, Maße in m).

Idee:

Ich habe 2 Punkte bei
(-3/15) und bei 3/15), wenn ich den Tiefsten Punkt der Leine in den 0 Punkt setze.

Daraus ergibt sich dann auch noch der Punkt (0/0), Tiefpunkt, also Steigung = 0.

$\begin{eqnarray*} f(x) = ax^2+bx+c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x) = 2ax+b \end{eqnarray*}$

f(0) = 0 $\begin{eqnarray*} c = 0 \end{eqnarray*}$

f(3) = 15 $\begin{eqnarray*} 9a+3b = 15 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 3a+b = 5 \end{eqnarray*}$

f'(0) = 0 $\begin{eqnarray*} b = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a = 5/3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = 5/3x^2 \end{eqnarray*}$

Würde meiner Meinung nach passen, die Lösung ist aber:
$\begin{eqnarray*} x^2/60 - x/10 \end{eqnarray*}$

Versteh ich nicht.

28.06.2015, 15:09

Mathema

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Zitat:

In der Mitte hängt sie 15 cm durch.

edit: Außerdem liegt der Tiefpunkt nicht an der Stelle x=0. unglücklich

28.06.2015, 15:21

Helferlein

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Im Prinzip stimmt deine Lösung. Sie hat allerdings zwei Schönheitsfehler:

1) Misst Du auf der x-Achse in m und auf der y-Achse in cm. Das ist zum einen unüblich, zum anderen verzerrt es das tatsächliche Bild. Zudem wurde in der Aufgabe gefordert, dass die Angaben in m sein sollten.

2) Dein Nullpunkt ist im Tiefpunkt der Leine. Er sollte aber laut Aufgabenstellung im linken Endpunkt liegen.

EDIT: Antwort während des Folgeposts von Mathema angepasst und daher erst in Nachinein gelesen.

28.06.2015, 15:23

Mathema

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Außerdem wurde folgendes nicht beachtet:

Zitat:

Ermittle die Gleichung der Funktion (Koordinatenursprung im linken Endpunkt, Maße in m).

Daher mein Satz:

Zitat:

Außerdem liegt der Tiefpunkt nicht an der Stelle x=0.

28.06.2015, 17:02

Chloe2015

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Bevor ich nochmal rechne.

Also dann habe ich 3 Punkte:

P1(0/0), P2(6/0)

P3(3/-0,15), Steigung = 0

28.06.2015, 17:07

Mathema

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Ja - wobei dein dritter Punkt ja der Scheitelpunkt ist. Du kannst diese Aufgabe auch mit reiner Mittelstufenmathematik lösen, indem du die Scheitelpunktform aufstellst, also:

$\begin{eqnarray*} f(x)=a(x-3)^2-0,15 \end{eqnarray*}$

Mit f(0)=0 kann man sich nun leicht sein a berechnen, und (wenn du möchtest) kannst du danach noch in die allgemeine Form umwandeln, indem du dein Binom auflöst.

Wink

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