ln umformen und ableiten

28.06.2015, 22:10

ToBeWhatToBe

ln umformen und ableiten

Meine Frage:
Hallo,

ich habe folgende Aufgabe bei der ich nicht weiterkomme.

$\begin{eqnarray*} (ln x)^{2} + ln \sqrt{x} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Ich sollte es als erstes so vereinfachen, das es dann möglich ist abzuleiten.

Meine Ideen:
Mein erster umformungsschritt:

$\begin{eqnarray*} ln x * ln x + ln * x^\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Leider weiß ich nicht wie ich weitermachen soll.

Kann mir jemand weiterhelfen?

28.06.2015, 22:25

JesusChristus

Auf diesen Beitrag antworten »

Denke mal an die Substitutionsmethode.

Was ist $\begin{eqnarray*} \ln(\sqrt{x}) \end{eqnarray*}$ wenn du die Logarithmengesetze anwendest?

28.06.2015, 22:32

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: ln umformen und ableiten

Zitat:

Original von ToBeWhatToBe

$\begin{eqnarray*} ln x * ln x + ln * x^\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

der ln muss ein Argument haben. Klammern setzen!! . ln*x gibt es nicht.

edit: und Ende. der Heilige geht um

28.06.2015, 23:13

ToBeWhatToBe

Auf diesen Beitrag antworten »

@JesusChristus
Ich muss als erstes die 1/2 rüberbringen. Habe noch nie mit ln substituiert. Wie geht das?
Sieht halt für mich ziemlich ungewöhnlich aus.

@Dopap
ohh ok. danke Freude

28.06.2015, 23:16

JesusChristus

Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht genau so wie sonst auch.
Probiere es einfach mal und zeige uns gegebenenfalls deine Rechnung.

$\begin{eqnarray*} \ln(x)=z \end{eqnarray*}$

28.06.2015, 23:25

ToBeWhatToBe

Auf diesen Beitrag antworten »

Bevor ich jetzt anfang das aufzulösen hätte ich noch eine zwischenfrage.

Lass ich das einfach so stehen: ln \sqrt{x}

oder muss ich des so umgeformt lassen: $\begin{eqnarray*} ln x^\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

28.06.2015, 23:29

JesusChristus

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie gesagt, vereinfache $\begin{eqnarray*} \ln(\sqrt{x}) \end{eqnarray*}$ mithilfe der Logarithmengesetze.

$\begin{eqnarray*} \ln(\sqrt{x})=\ln(x^{\frac12})=\dotso \end{eqnarray*}$

Du kannst noch eine weitere Vereinfachung vornehmen, welche auch notwendig für die Substitution ist.
Denn wir sehen eine Substitution ja nur für $\begin{eqnarray*} \ln(x) \end{eqnarray*}$ vor und nicht $\begin{eqnarray*} \ln(\sqrt{x}) \end{eqnarray*}$

Was macht der Logarithmus mit Exponenten?

28.06.2015, 23:42

ToBeWhatToBe

Auf diesen Beitrag antworten »

Das wäre jetzt meine weitere Umformung: $\begin{eqnarray*} \frac{ln(x)}{2} \end{eqnarray*}$

28.06.2015, 23:45

JesusChristus

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist richtig.

Du hast nun also

$\begin{eqnarray*} \ln(x)^2+\frac12\ln(x)=\frac12 \end{eqnarray*}$

Nun substituieren wir $\begin{eqnarray*} \ln(x)=z \end{eqnarray*}$ und erhalten

$\begin{eqnarray*} z^2+\frac12z=\frac12 \end{eqnarray*}$

Also eine quadratische Gleichung. Und eine quadratische Gleichung kannst du sicherlich lösen.
Vergiss nur nicht die Rücksubstitution.

28.06.2015, 23:52

ToBeWhatToBe

Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh. Ich danke dir. Freude

Ich poste nachher die Lösung, damit es auch andere dann nachvollziehen können.

29.06.2015, 00:19

ToBeWhatToBe

Auf diesen Beitrag antworten »

Hier sind die Lösungen:

$\begin{eqnarray*} x = \sqrt{e} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$

29.06.2015, 00:22

JesusChristus

Auf diesen Beitrag antworten »