Doppelintegral eines Trapez berechnen

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Lorenord Auf diesen Beitrag antworten »
Doppelintegral eines Trapez berechnen
schönen guten tag
ich habe probleme beim setzen meiner integrationsgrenzen in meinem doppelintegral.
und zwar habe ich die funktion (x+y)^(1/2) gegeben und die eckdaten meines trapezen
A (1;0) B ( 3;0) C (6;3) D (2;3)
ich habe zunächst das Trapez eingezeichnet und es in drei teilkörper zerteilt

nun geht mein erstes integral von


[attach]38584[/attach]

ist das richtig so ? bitte um eure hilfe bzw euren Rat

danke vielmals
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: doppelintegral eines trapezen berechnen
Für das 1. Integral müßte doch das x von 1 bis 2 laufen. Außerdem läuft das y in dem Intervall von 0 bis zu der Geraden, die die Punkte A (1;0) und D (2;3) verbindet.
 
 
Lorenord Auf diesen Beitrag antworten »
RE: doppelintegral eines trapezen berechnen
Die gerade A und D startet doch bei x=2 daher sind doch die integrationsgrenzen von y 0 - 2 oder nicht ?
Und der zweite integral ist richtig ?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: doppelintegral eines trapezen berechnen
Ich weiß jetzt nicht, was du mit dem 2. Integral willst. Meines Erachtens geht es doch bei dem 1. Integral um das Integral über die Dreiecksfläche, die von den Punkten A (1;0), (2;0) und D (2;3) aufgespannt wird. Und was die Gerade angeht, solltest du dir das mal aufmalen.
Lorenord Auf diesen Beitrag antworten »
RE: doppelintegral eines trapezen berechnen
Ich habe das halt so betrachtet , dass ich das integral eines Rechteckes - den zwei dreiecken abziehen , sodass ich die Figur eines Trapezen habe
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: doppelintegral eines trapezen berechnen
Das entspricht aber nicht so ganz deiner Eingangsbeschreibung. Nun gut.
Welches Integral soll denn nun dem Integral über die Rechteckfläche entsprechen?
Lorenord Auf diesen Beitrag antworten »
RE: doppelintegral eines trapezen berechnen
Also das linke soll den Rechteck beschreiben und der rechte halt das Dreieck welches ich abziehe
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: doppelintegral eines trapezen berechnen
Zum einen mußt du doch 2 Dreiecke abziehen, zum anderen geht dein Rechteck von den Punkten A (1;0), (6;0), C (6;3) und (1;3) . Somit müßte dein Rechteckintegral so lauten:

Lorenord Auf diesen Beitrag antworten »
RE: doppelintegral eines trapezen berechnen
Stimmt . Mein x reiht ja bis 6
Und dann noch die Dreiecke abziehen . Ist das integral vom Dreieck denn richtig ?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: doppelintegral eines trapezen berechnen
Zitat:
Original von Lorenord
Stimmt . Mein x reiht ja bis 6

Vor allem startet es bei 1. Augenzwinkern

Zitat:
Original von Lorenord
Und dann noch die Dreiecke abziehen . Ist das integral vom Dreieck denn richtig ?

Nein. Dein 2. Integral machst du über das Rechteck , also nicht über ein Dreieck.

Außerdem hast du 2 Dreiecke, also brauchst du auch 2 Integrale.
Lorenord Auf diesen Beitrag antworten »
RE: doppelintegral eines trapezen berechnen
Mein zweites integral geht dann von 3-6 dx und 0- (x-3) dy
Nun weiß ich aber nicht wie mein drittes integral aussehen muss
Lorenord Auf diesen Beitrag antworten »
RE: doppelintegral eines trapezen berechnen
Also habe mein drittes integral so gewählt : dx läuft von 1-2 und mein dy von 0- 3/2x
Wenn ich alles schön integriere und die Werte einsetze erhalte ich 17.53 Ca
Und die Lösung ist 19.34

Ich weiß jetzt nicht ob es rundungsfehler sind oder ob mein integral falsch ist , es ist aber nah an der Lösung
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: doppelintegral eines trapezen berechnen
Zitat:
Original von Lorenord
oder ob mein integral falsch ist

Darauf würde ich eher tippen. Du willst doch über das Dreieck mit den Punkten A (1;0), D (2;3) und (1;3) integrieren. Das y läuft also von der Geraden durch die Punkte A (1;0) und D (2;3) bis 3. Wie sieht denn die Geradengleichung der Geraden durch die Punkte A (1;0) und D (2;3) aus? Tipp: es ist nicht .
Lorenord Auf diesen Beitrag antworten »
RE: doppelintegral eines trapezen berechnen
Habe ich dann also für dx 1-2 und für mein dy (3x-3) ?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: doppelintegral eines trapezen berechnen
Hm. Ich weiß nicht, ob man das formal so sagen kann. Richtig ist in jedem Fall, daß der Integrationsbereich so aussieht:


Daraus ergeben sich dann auch die Integrationsgrenzen.
Lorenord Auf diesen Beitrag antworten »
RE: doppelintegral eines trapezen berechnen
Ok . Also dann nur noch integrieren und alles mit einander abziehen dann müsste ich doch aufs richtige kommen
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: doppelintegral eines trapezen berechnen
Das sollte so sein. Augenzwinkern
Lorenord Auf diesen Beitrag antworten »
RE: doppelintegral eines trapezen berechnen
Ich habe meinen dritten integral also für meinen 2 Dreieck so bestimmt

Für dx 3-6. für dy (x-3) - 3
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: doppelintegral eines trapezen berechnen
Es scheint ja eine große Verwirrung zu geben, was nun das 2. und was das 3. Integral ist. Da du zuviel berechnete Dreiecksflächen abziehen mußt, ist jedenfalls dieses richtig:
Zitat:
Original von Lorenord
Mein zweites integral geht dann von 3-6 dx und 0- (x-3) dy
Lorenord Auf diesen Beitrag antworten »
RE: doppelintegral eines trapezen berechnen
Ja stimmt .
Also habe ich jetzt mein erstes Dreieck und mein Rechteck nun muss ich doch mein zweites Dreieck abziehen welches rechts von meinem Rechteck ist oder nicht

Oder kann ich es jetzt mit den zwei integralen berechnen
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: doppelintegral eines trapezen berechnen
Zitat:
Original von Lorenord
Ja stimmt .
nun muss ich doch mein zweites Dreieck abziehen welches rechts von meinem Rechteck ist

Richtig. Bitte dazu die Grenzen nehmen.
Lorenord Auf diesen Beitrag antworten »
RE: doppelintegral eines trapezen berechnen
Ok jetzt hab ich ein überblick. Rechne es zu Hause mal in Ruhe hoffentlich klappts
Danke für deine Hilfe ! smile
Lorenord Auf diesen Beitrag antworten »

Habe es jetzt mal mit den von Dr angegeben integralen versucht aber wieder eine falsche Lösung raus bekommen
Ich denke mal es liegt an meiner Rechnung .
Könntest du eventuell mal versuchen die Aufgabe zu rechnen , ob du denn aufs richtige kommst
Wäre sehr lieb smile
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Üblicherweise machen wir das hier umgekehrt: du schreibst hier deine Rechnung rein und ich schaue, was falsch ist. Augenzwinkern
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Angesichts der Lage des Trapezes

[attach]38615[/attach]

mit den beiden parallelen Seiten auf den Niveaulinien sowie finde ich es doch irgendwie wesentlich angenehmer, als äußere Integrationsvariable nicht , sondern zu wählen, d.h.



wobei die Gerade beschreibt, die und verbindet, sowie entsprechend die andere Gerade, die und verbindet. Die zugehörigen Geradengleichungen aufgestellt landet man dann bei




Entschuldigung für die Einmischung, aber irgendwie musste ich das loswerden. Zumindest ist es im Anschluss als Kontrollrechnung tauglich, um das Ergebnis des anderen Weges zu überprüfen. Augenzwinkern
Lorenord Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde ja gerne mein Rechenfehler Posten aber ich habe keine Ahnung wie man dieses Latex benutzt , da ich mit meinem Handy drinne bin .

Rechne es mal jetzt so wie du es aufgelistet hast , hoffe das ich das richtige Krieg
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lorenord
Ich würde ja gerne mein Rechenfehler Posten aber ich habe keine Ahnung wie man dieses Latex benutzt , da ich mit meinem Handy drinne bin .

Schwache Ausrede: Man kann die Rechnung auch ohne LaTeX lesbar darstellen. unglücklich
Lorenord Auf diesen Beitrag antworten »

Werde dies dann sofort Tuen wenn ich zu Hause bin
Lorenord Auf diesen Beitrag antworten »

Also ... ( tut mir leid wenns etwas unlesbar ist )

Ich berechne erst mal mein integral vom Rechteck mit den Grenzen 1-6 dx und 0-3 dy
Ich integriere (x+y)^(1/2) nach y =>. 2/3(x+y)^(3/2)
Setze die Grenzen für y ein und erhalte -> 2/3(x+3)^(3/2) - 2/3(x)^(3/2)
Das integriere ich nach x diesmal und erhalte wenn ich die Grenzen 1-6 einsetze -> 4/15(x+3)^(5/2) - 4/15(x)^(5/2) --> einen Wert von ca 33
Jetzt integriere ich mein linkes dreieeck mit den Grenzen 3-6 dx und 0-(x-3) dy --> 2/3(x+y)^(3/2) --> einsetzen meiner Grenzen für dy --> 2/3(2x-3)^(3/2) - 2/3(x)^(3/2)
Integriere ich nach x --> 4/30(2x-3)^(5/2) - 4/15(x)^(5/2) wenn ich meine Grenzen 3-6 einsetze kriege ich einen Wert von Ca 10.9

Zu guter letz mein drittes integral für mein zweites dreieeck ( den rechten ) mit den Grenzen 1-2 dx und (3x-3) - 3 dy
2/3(x+y)^(3/2) setze meine Grenzen für y ein -> 2/3(x+3)^(3/2) - 2/3(4x-3)^(3/2) --> integriere es nach x -> 4/15(x+3)^(5/2) - 4/60(4x-3)^(5/2) -> Grenzen 1-2 -> einen Wert von Ca 3

Nun ziehe ich die Dreiecke vom Rechteck ab und bekomme den Wert 20
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lorenord
Jetzt integriere ich mein linkes dreieeck mit den Grenzen 3-6 dx und 0-(x-3) dy

Das ist in meinen Augen das rechte Dreieck.

Zitat:
Original von Lorenord
Zu guter letz mein drittes integral für mein zweites dreieeck ( den rechten ) mit den Grenzen 1-2 dx und (3x-3) - 3 dy

Das ist in meinen Augen das linke Dreieck.

Ansonsten kann ich keinen Fehler finden. Welches Ergebnis soll denn rauskommen?
Lorenord Auf diesen Beitrag antworten »

Hab mich vertan sry

Das Ergebnis ist 19,4
Wenn du kein Fehler drin siehst sind es wahrscheinlich nur rundungsfehler
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Gerundet auf 2 Nachkomma-Stellen habe ich 19,34 raus. Augenzwinkern
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Aus Mathematikersicht wäre natürlich zunächst die Angabe des exakten Ergebnisses wünschenswert. Augenzwinkern
Lorenord Auf diesen Beitrag antworten »

Ok 19,34 ist die richtige Lösung und die Schreibweise ist auch so in den Lösungen
Danke für eure Hilfe Big Laugh
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