Logik: logische Äquivalenz - Bikonditional

29.06.2015, 10:25

Mathe-Physik-Freak

Logik: logische Äquivalenz - Bikonditional

Hallo beisammen,
wir behandeln in der Schule das Thema Analysis I. Habe ein Problem mit der logischen Äquivalenz verwirrt

der Thread hier: matheboard.de/archive/499484/thread.html
hat mir dabei nicht wirklich weitergeholfen.

Wo genau liegt der Unterschied zwischen der logische Äquivalenz und dem Bikonditional?

Mein Lehrer hatte folgendes an die Tafel geschrieben:

Zitat:

Wenn $\begin{eqnarray*} A \leftrightarrow B \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} A \Leftrightarrow B \end{eqnarray*}$ immer wahr.

Also: $\begin{eqnarray*} (A \leftrightarrow B) \Rightarrow \models (A \Leftrightarrow B) \end{eqnarray*}$

Richtig?

Dies würde jedoch bedeuten, dass ein Bikonditional immer wahr sein muss und eine logische Äquivalenz den Wahrheitswert W oder F annehmen kann. Dies widerspricht jedoch der Definition. verwirrt

Was ich außerdem nicht verstehe ist, wieso wir eindeutige Äquivalenzen, wie durch eine doppelte Negation ebenfalls mit $\begin{eqnarray*} \leftrightarrow \end{eqnarray*}$ schreiben.
Also: $\begin{eqnarray*} A \leftrightarrow \neg (\neg A) \end{eqnarray*}$

Hoffentlich kann mir jmd helfen Hammer

29.06.2015, 13:45

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Logik: logische Äquivalenz - Bikonditional

Zitat:

Original von Mathe-Physik-Freak
[QUOTE]Wenn $\begin{eqnarray*} A \leftrightarrow B \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} A \Leftrightarrow B \end{eqnarray*}$ immer wahr.

Wenn dein Lehrer das so hingeschrieben hat, dann ist das grober Unfug. Er mag das Richtige gemeint haben, aber so verkürzt ist das falsch. Korrekt ist folgendes:

Genau dann, wenn für zwei Aussagen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ das Bikonditional $\begin{eqnarray*} A \leftrightarrow B \end{eqnarray*}$ allgemeingültig ist (= eine Tautologie ist), bezeichnen wir die Aussagen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ als logisch äquivalent: $\begin{eqnarray*} A \Leftrightarrow B \end{eqnarray*}$ .

Eine (zusammengesetzte) Aussage wird als allgemeingültig (als Tautologie) bezeichnet, wenn bei jeder beliebigen Belegung der nicht näher spezifizierten Teilaussagen mit Wahrheitswerten die Gesamtaussage den Wahrheitswert $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ hat. Es kommt dabei nicht darauf an, ob die Teilaussagen inhaltlich wahr oder falsch sind. Gemäß dieser Definition darf man zur Prüfung der Allgemeingültigkeit den Teilaussagen auch inhaltlich falsche Wahrheitswerte geben.

Das Bikonditional $\begin{eqnarray*} A \leftrightarrow B \end{eqnarray*}$ kann man, wie jede andere 2-stellige logische Verknüpfung, für beliebige Teilaussagen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ hinschreiben. Über eine Wahrheitstabelle ist dann definiert, bei welchen Wahrheitswerten der Teilaussagen das Bikonditional (die Gesamtausage) den Wahrheitswert $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ bekommt. Wenn keine der beiden Teilaussagen näher spezifiziert ist, kann das Bikonditional $\begin{eqnarray*} A \leftrightarrow B \end{eqnarray*}$ natürlich nicht allgemeingültig sein. Man braucht ja nur $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ unterschiedliche Wahrheitswerte zu geben und schon hat das Bikonditional $\begin{eqnarray*} A \leftrightarrow B \end{eqnarray*}$ den Wahrheitswert $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ . Und dann können auch die Teilausagen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ nicht logisch äquivalent sein.

Damit das Bikonditional $\begin{eqnarray*} A \leftrightarrow B \end{eqnarray*}$ allgemeingültig ist, muss mindestens eine der beiden Teilausagen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ näher spezifiert sein. Es muss einen formalen Zusammenhang zwischen den beiden Teilaussagen geben.

Beispiel 1:
$\begin{eqnarray*} A: A \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B: \neg \neg A \end{eqnarray*}$
Das Bikonditional zwischen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ist jetzt:
$\begin{eqnarray*} A \leftrightarrow \neg \neg A \end{eqnarray*}$
Dieses Bikonditional ist allgemeingültig. Egal, welchen Wahrheitswert man der einzigen unspezifizierten Aussage $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ gibt, das Bikondional hat den Wahrheitswert $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ . Also gilt gemäß obiger Definition
$\begin{eqnarray*} A \Leftrightarrow \neg \neg A \end{eqnarray*}$

Beispiel 2:
$\begin{eqnarray*} A: C \rightarrow D \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B: \neg C \lor D \end{eqnarray*}$
Das Bikonditional zwischen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ist jetzt:
$\begin{eqnarray*} (C \rightarrow D) \leftrightarrow (\neg C \lor D) \end{eqnarray*}$
Auch diese Bikonditional ist allgemeingültig. Also gilt:
$\begin{eqnarray*} (C \rightarrow D) \Leftrightarrow (\neg C \lor D) \end{eqnarray*}$

29.06.2015, 14:14

Mathe-Physik-Freak

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Logik: logische Äquivalenz - Bikonditional
Wow, danke, dass du dir soviel Mühe gibst! Freude

Also wenn ich das jetzt richtig verstanden habe könnte man schreiben:
Wenn $\begin{eqnarray*} A \leftrightarrow B \end{eqnarray*}$ immer wahr ist, dann gilt $\begin{eqnarray*} A \Leftrightarrow B \end{eqnarray*}$ .
Richtig?
Also:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (\models (A \leftrightarrow B)) \Rightarrow (A \Leftrightarrow B) \end{eqnarray*}$

Aber man kann doch der logischen Äquivalenz auch den Wahrheitswert F zuordnen.
Denn, man kann ja schließlich auch folgende Wahrheitstabellen notieren:

$\begin{eqnarray*} \begin{tabular}[t]{c|c||c} $A$ & $B$ & $A \Leftrightarrow B$ \\ \hline W & W & W\\ W & F & F\\ F & W & F\\ F & F & W\\ \end{tabular} \end{eqnarray*}$

Was grenzt denn jetzt den Bikonditional von der logischen Äquivalenz eindeutig ab?

29.06.2015, 15:49

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

das ist keine Wahrheitstabelle da die Äquivalenz keine Verknüpfung ist, also keine Funktion der Variablen A;B

Die Äquivalenz ist eine Relation in A;B

aber: man muss gut hinschauen ob $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ nicht doch als Verknüpfung (Subjunktion (Implikation )) und $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ als Bijunktion verwendet wird. Das ist nicht einheitlich geregelt.

29.06.2015, 16:36

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Logik: logische Äquivalenz - Bikonditional

Zitat:

Original von Mathe-Physik-Freak
Also wenn ich das jetzt richtig verstanden habe könnte man schreiben:
Wenn $\begin{eqnarray*} A \leftrightarrow B \end{eqnarray*}$ immer wahr ist, dann gilt $\begin{eqnarray*} A \Leftrightarrow B \end{eqnarray*}$ .
Richtig?

Ja, wenn man mit "immer wahr" allgemeingültig meint.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (\models (A \leftrightarrow B)) \Rightarrow (A \Leftrightarrow B) \end{eqnarray*}$

Damit habe ich Probleme. Wo steckt denn jetzt das allgemeingültig? Für die logische Äquivalenz zweier Aussagen genügt es nicht, dass das Bikonditional zwischen ihnen den Wahrheitswert $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ hat. Sei:

A: 2 + 2 = 4
B: Der 29.6.2015 ist ein Montag.

Dann ist $\begin{eqnarray*} A \leftrightarrow B \end{eqnarray*}$ wahr. Trotzdem ist $\begin{eqnarray*} A \Leftrightarrow B \end{eqnarray*}$ nicht wahr. Denn wenn man $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ den Wahrheitswert $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ gibt, obwohl das inhaltlich falsch ist, wird das Bikonditional falsch. Es würde auch dem gesunden Menschenverstand widerstreben, diese beiden Aussagen, zwischen denen keinerlei Verbindung besteht, als logisch äquivalent zu bezeichnen.

Zitat:

Diese Tabelle ergibt keinen Sinn, weil sie Aussagen und Symbole zweier verschiedener Sprachebenen miteinander vermengt. Man beginnt mit einer formalen Sprache, die man üblicherweise Objektsprache nennt. $\begin{eqnarray*} A, B, W, F, \lor, \land \leftrightarrow \end{eqnarray*}$ usw. sind dann Symbole dieser Objektsprache. $\begin{eqnarray*} A, B, A \land B \end{eqnarray*}$ usw. sind Aussagen dieser Objektsprache.

Wenn man nun Aussagen über diese Objektsprache machen will, braucht man eine zweite Sprache. Man nennt das üblicherweise eine Metasprache. Meist wird man als Metasprache die Umgangssprache verwenden. Dass eine Aussage einer Objektsprache allgemeingültig ist, ist eine Aussage über diese Objektsprache und gehört damit selbst zu einer Metasprache.

Nun kann man auch eine Metasprache wieder formalisieren und in ihr mit Symbolen hantieren anstatt mit der Umgangssprache. $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ ist ein Symbol dieser Metasprache. Auch in dieser Metasprache kann man wahr und falsch über Symbole ausdrücken. Man kann diese Symbole aber nicht $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ nennen, weil diese Symbole schon in der Objektsprache benutzt werden. In deiner Tabelle wird nun $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ auf der linken Seite als Symbol der Objektsprache verwendet, auf der rechten Seite als Symbol der Metasprache. Das darf man nicht.

Es ist in der formalen Logik eineTodsünde, verschiedene Sprachebenen zu vermengen. Viele Paradoxien beruhen auf einer solchen Vermengung.

Neue Frage »

Antworten »

Logik: logische Äquivalenz - Bikonditional

Verwandte Themen