Rotation um beliebige Achse

29.06.2015, 12:50	akaari	Auf diesen Beitrag antworten »
Rotation um beliebige Achse Hallo allerseits! Mein Problem ist foglendes: Zunächst hatte ich Flächen in Ebenen die ich um einen Punkt innerhalb der Flächen rotiert habe. Dazu habe ich die Formeln für die allgemeine Rotation verwendet und den Rotationspunkt eben zuerst in den Ursprung verschoben und dann wieder zurückverschoben. Also so: $\begin{eqnarray} x^{'}=(x-x_p)\cos(\alpha )-(y-y_p)\sin(\alpha ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y^{'}=(x-x_p)\sin(\alpha )+(y-y_p)\cos(\alpha ) \end{eqnarray}$ Das hat auch wunderbar funktioniert. Nun muss ich aber Punkte im Raum um eine beliebige Achse drehen, da dieselben Flächen von eben nun nicht mehr in einer Ebene liegen sondern jeweils gewölbt im Raum sind. Zuerst dachte ich recht naiv ich könnte einfach die x und die y Koordinaten der Punkte in dieselbe Formel einsetzen und den Drehpunkt gleich lassen. Die Fläche dreht sich dann aber überhaupt nicht so wie ich es mir wünsche. Ich hänge mal zwei Bilder an die das verdeutlichen. Meine Wunschrotation wäre aber entlang einer senkrechten Achse, nämlich so dass bsp. bei einer Rotation um 90° ein Bogen zu sehen wäre. Man also Seitlich auf diese Fläche kuckt. Leider ,,fallen" meine Flächen mit meiner bisherigen Rotation einfach nur um. Das ist so natürlich nicht gewollt... Ich habe mich umgesehen und habe dieses Dokument gefunden das mir eine sehr komplizierte Lösung anbietet, die ich ehrlich gesagt auch gar nicht verstehe. http://www-lehre.inf.uos.de/~cg/2008/PDF/kap-13.pdf Gibt es da keine einfachere Möglichkeit? Die Punkte rotieren ja schon, ich will nur die Drehachse verändern, verzweifle aber schon seit gestern morgen an dem Problem...
29.06.2015, 13:52	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das muss man nicht mit homogenen Koordinaten machen. Rotation im dreidimensionalen Raum siehe z.B. hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Drehmatrix
29.06.2015, 15:36	akaari	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Elvis, leider verstehe ich die Anleitung dazu nicht. Ich war auch schon auf anderen Seiten mit ähnlichen Erlärungen, die ich leider ebenfalls nicht umsetzen kann. Muss ich das denn so kompliziert rechnen? Wie gesagt im zweidimensionalen Fall ging das so einfach, ich hoffe immer noch dass es eine ähnlich simple Vorgehensweise für den drei Dimensionalen Fall gibt. Die beliebige Achse um die ich drehe ist ja auch noch parallel zur z-Achse. Meine Drehung in der Ebene verlief ja an einem Punkt. Ich nehme an dass ich jetzt im räumlichen Fall diesen Punkt zu einer Achse ausdehnen muss. Die Koordinatengleichung dieser Gerade/dieses Vektors kann ich ja auch bestimmen. Ich weiß jetzt aber überhaupt nicht wie ich damit rechne...
29.06.2015, 18:36	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist doch nicht kompliziert. Schau dir die Drehmatrizen im R³ und inbesondere die Drehung um die z-Achse an, und du bist fertig.
30.06.2015, 09:43	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn die Drehachse $\begin{eqnarray} \vec n=(n_1\|n_2\|n_3) \end{eqnarray}$ schief ist und nicht durch den Koordinatenursprung geht, sondern durch irgendeinen Punkt $\begin{eqnarray} \vec x_0 \end{eqnarray}$ , rechnet man wie folgt: -------------------------------------------- 1.Schritt: Verschiebung des Koordinatenursprunges von (0\|0\|0) in denjenigen Punkt $\begin{eqnarray} \vec x_0 \end{eqnarray}$ , durch den die Drehachse geht. Das geschieht durch die Transformation $\begin{eqnarray} \tilde {\vec x}=\vec x-\vec x_0 \end{eqnarray}$ Im neuen, verschobenen Koordinatensystems geht die Drehachse durch den neuen Koordinatenursprung $\begin{eqnarray} \tilde {\vec 0}=(\tilde 0\|\tilde 0\|\tilde 0) \end{eqnarray}$ --------------------------------------------- 2. Schritt: Drehung der verschobenen Koordinaten $\begin{eqnarray} \tilde {\vec x} \end{eqnarray}$ gemäß der Formel, die du bei WIKIPEDIA unter dem Stichwort "Drehmatrix" findest. $\begin{eqnarray} D\tilde{\vec x}=\vec n\cdot (\vec n\tilde{\vec x})+[(\vec n \times \tilde{\vec x})\times \vec n]\cdot \cos(\phi)+(\vec n \times \tilde{\vec x})\times \sin(\phi) \end{eqnarray}$ Diese Formel gilt für beliebig schiefe Drehachsen, die durch Koordinatenursprung $\begin{eqnarray} \tilde {\vec 0}=(\tilde 0\|\tilde 0\|\tilde 0) \end{eqnarray}$ gehen. ---------------------------------------------- 3.Schritt: Rückverschiebung des Koordinatenursprunges an die alte Stelle gemäß $\begin{eqnarray} \vec x=D\tilde{\vec x}+\vec x_0 \end{eqnarray}$ ----------------------------------------------- Man kann diese 3 Schritte natürlich zu einer einzigen Formel zusammenfassen. Bezeichnungen: $\begin{eqnarray} \vec x \end{eqnarray}$ = Argument $\begin{eqnarray} \tilde{\vec x} \end{eqnarray}$ = verschobenes Argument $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ = Drehwinkel $\begin{eqnarray} \vec n \end{eqnarray}$ = Einheitvektor der räumlichen Drehachse, also $\begin{eqnarray} \|\vec n\|=1 \end{eqnarray}$

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