Volumen einer Schnittmenge

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SLyzer Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo zusammen,

Ich habe ein Problem bei einer Übungsaufgabe. Mathe II für Physiker.

Zur Aufgabe:

Bestimen Sie das Volumen des Körpers , wobei a eine positive Konstante ist und:





Nunja. Was ich schon weiß ist:

Ich verstehe die herangehensweise an die Chose. Später (!) integriere ich über die 1-Funktion.
Die Grenzen werden eben durch beide Mengen dargestellt. Ich kriege Sie aber nicht kombiniert

beschreibt die Menge aller Zahlen einer Kugel mit Radius a.
x,y,z kann man voneinander abhängig machen.
Hierbei würden sich Kugelkoordinaten für die Integration super eignen.

Nun folgt die Menge . Hier lässte es sich nicht mehr so einfach beschreiben worum es sich handelt.
Was ich weiß ist, dass z hier beliebig ist (Im Schnitt später nicht mehr). Desweiteren muss x>y gelten damit eine wahre Aussage getroffen werden kann. Nun gibt es ja den Fall, dass . Dort wäre sehr klein und damit die Ungleichheit gilt müsste a ins unendliche gehen. Das wäre eine Randeigenschaft. Die muss auch berücksichtigt werden.
Und hier ist nun mein Problem. Ich weiß nicht, wie ich mit der Menge umzugehen habe.

Kann dort x=0 sein? Dann müsste y=0 gelten damit wenigstens beide Seiten 0 sind. Doch inwiefern gilt dann 0<0?


Ich freue mich über jeden Tipp zur Lösung dieser Aufgabe.


P.S.: Ich habe bereits versucht die Menge zu visualisieren.
Bei Wolfram Alpha kann ich dies nur, wenn ich auf die andere Seite bringe. Dann gibt es aber Probleme mit dem Fall y>x. Die resultierenden PLots frustieren mich nur mehr.

Zwei Beiträge zusammengefasst und die Frage aus Geometrie nach Analysis verschoben. Steffen

Ich habe nun ein bisschen weiter überlegt und habe eine Lösung. Jedoch bin ich mir nicht sicher, ob ich dabei alles richtig beachtet habe.

Also es war ja von Anfang an die Bedingung . Betrachte ich nun die Menge , so sehe ich, dass . Für a gilt hier also .
Das schrenkt x,y,z soweit nicht ein. Die Bedingung lautet ja jeweils "kleiner" als etwas zu sein.


Was ich über die Symmetrie sagen kann ist, dass eine Kugel darstellt. Diese ist total symmetrisch. ist auch symmetrisch. Durch die Unabhängigkeit von z ist es bezüglich der xy-Ebene spiegelsymmetrisch. Und durch die Quadrate ist es ebenfalls an xz- sowie yz-Ebene spiegelsymmetrisch. Daher richte ich mein Dreifachintegral an den ersten Octanten.

Grenzen für z:

Für z ist somit die untere Grenze 0. Egal welche Werte x und y annehmen. Eine nicht vorhandene Ausdehnung in z-Richtung kann nicht über die Grenzen hinausführen.
Als obere Grenze muss die Kugelschale genommen werden, da keine Beschränkung kennt.
Da ich zuerst nach z integriere muss ich die obere Grenze also von x und y abhängig machen. Das wäre dann .

Nun folgt y. Das ist etwas komplexer:

Als untere Grenze nehme ich wieder 0. Für gibt es keine Widerspruch. Auch bei ist es möglich solange es kleiner x ist (dazu die obere Grenze).

Nun die obere Grenze. Hier ist die Abhängigkeit gegenüber x wichtig.
Dazu muss ich wissen wann (für welche a,x) x durch begrenzt wird.
Für kann ich es umstellen. Wichtig ist z wegzulassen. Das z-Integral ist dem von ja unergeordnet und richtet sich demnach nach ihm. Ist y maximal, so ist die obere Grenze von z=0. Es ergibt sich .

Für forme ich die Ungleichung um. Zuerst die Klammer auflösen.



Subtraktion, Addition ist ohne Probleme möglich. Also umstellen.



(a+1) ist positiv wegen a>1. Also Multiplikation möglich.



Wurzelziehen ist hier ohne Fallunterscheidung möglich, da ich nur den ersten Octant betrachte.



Nun muss ich herausfinden wann welche Grenze kleiner ist. Da die Schnittmenge beide Mengen beinhalten muss ist die geringere von Relevanz.

ergibt nach umformen:



Ist dies gegeben, so grenzt y ein. Andersherum eben umgekehrt.
Somit muss dann das x-Integral aufgeteilt werden. Als unterste Grenze nehme ich auch hier 0 und die oberste dann a.
Isgesamt ergibt sich für den ersten Octant dann:



Das Integral rechne ich nicht aus. Das ist zu viel. Sind meine Gedankengänge schlüssig und richtig?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Grauenhafte Fehler passieren da bei deinen Umformungen zu , alles nach der ersten noch richtigen Zeile ist falsch. unglücklich

links, rechts versammelt ergibt sich



Hier lohnt sich ein erstes Innehalten: Man stellt nämlich fest, dass im Fall diese Gleichung keine reellen Lösungen hat, denn links steht immer was Nichtnegatives, und rechts immer was Nichtpositives - das kann nicht sein. Also ist in diesem Fall , und du kannst dich von nun an auf konzentrieren. Da gilt dann durch Wurzelziehen

.
SLyzer Auf diesen Beitrag antworten »

:/ klar. Das Quadrat sollte man übernehmen. Das war ein Konzentrationsfehler.
Das ändert die Grenzen aber nur geringfügig.


Ich denke ich bin besser damit beraten eine Koordinatentransformation durchzuführen.
Und zwar in Kugelkoordinaten.

Damit wird zu (Oh Wunder!)

Und zu

Da der "Körper" der gleiche bleibt kann ich die Symmetrie übernehmen. Dazu muss ich kurz überlegen wie die Größen liegen. Daraus ergibt sich:

hat als Grenzen
hat als Grenzen

ergibt sich aus der zweiten Menge.
Dazu muss ich die Ungleichung umformen:





Beschränkung von jedoch durch die Ungleichung

Das entspricht der oberen Grenze. Also final:

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