Reihenentwicklung mit Euler-Formeln

29.06.2015, 22:22	Chemiestudent2,718	Auf diesen Beitrag antworten »
Reihenentwicklung mit Euler-Formeln Meine Frage: Hallo. Es geht um ein konkretes Beispiel bei dem eine Cosinusfunktion mit Hilfe der Eulersch?schen FormelN in eine Potenzreihe entwickelt werden soll. Ich konnte das Beispiel zwar selbst auf umständliche Art lösen, ich habe dazu aber einen Lösungsweg der ?eleganter? zu sein scheint, den ich aber nicht ganz verstehe. Der Ansatz ist mir klar, aber den einen Zwischenschritt kann ich absolut nicht nachvollziehen. Anbei eine BILDDATEI mit der einen Gleichung die ich nicht verstehe (+ 2 Dateien mit dem ganzen Beispiel nur zusätlzlich) . Kann mir vl jemand sagen was hier gemacht wurde? Bzw. Warum kann man diese konvergente Reihe so darstellen ? Ich kann weder in meinen Unterlagen noch im Netz etwas finden, dass so ähnlich aussieht. Den Beweis der Euler-Formel mit Reihenentwicklung hab ich zwar verstanden, hilft mir dabei aber nicht weiter. Und wenn i^n bei einem Therm z.B. +1 wird, muss für n ja 4 od. 8 usw. eingesetzt worden sein, kann ich aber nicht überall einsetzten (???). Außerdem verstehe ich auch nicht was mit ?trennen nach 4 Potenzen von i? gemeint ist. Vielen Dank, LG Lukas Meine Ideen: keine
30.06.2015, 08:50	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihenentwicklung mit Euler-Formeln Leider ist die Auflösung der Bilder so schlecht, daß man darauf nichts erkennen kann. Im 1. Bild wurde (verdachtsweise) die Potenzreihe in 4 einzelne Potenzreihen auseinandergezogen, und zwar so, daß eine Potenzreihe die durch 4 teilbaren Exponenten enthält, die nächste Potenzreihe die Exponenten enthält, die bei Teilen durch 4 den Rest 1 haben, usw. Auf diese Weise haben in den einzelnen Reihen die Potenzen von i immer den gleichen Wert.
30.06.2015, 21:42	Chemiestudent2,718	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihenentwicklung mit Euler-Formeln Danke für den Tipp. Es wird auf jeden Fall eine Reihe in 4 verschiedene auseinandergezogen. Ich versthe zwar nicht ganz was du meinst, aber ich glaube das ist es auch nicht, weil i verschiedene Potenzen hat... Anbei die Bilder als pdf's gezipt. Könntest du vl nochmal einen Blick darauf werfen ?
01.07.2015, 08:59	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihenentwicklung mit Euler-Formeln Gehen wir das mal Schritt für Schritt durch. Dabei kümmern wir uns nur mal um $\begin{eqnarray} e^{3ix} + e^{ix} - e^{-ix} - e^{-3ix} \end{eqnarray}$ . Mit der Potenzreihe für die e-Funktion erhalten wir: $\begin{eqnarray} e^{3ix} + e^{ix} - e^{-ix} - e^{-3ix} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^n + 1^n - (-1)^n - (-3)^n}{n!} \cdot i^n x^n \end{eqnarray}$ Das sollte soweit klar sein. Jetzt geht es darum, auf geschickte Weise das $\begin{eqnarray} i^n \end{eqnarray}$ zu behandeln. Nun ist es so, daß $\begin{eqnarray} i^n \end{eqnarray}$ periodisch die Werte 1, i, -1, -i durchläuft. Die Idee ist also, die obige Summe in 4 Summen aufzuteilen, und zwar so: a) die 1. Summe enthält alle Summanden, wo der Exponent von i (bzw. x) durch 4 teilbar ist. b) die 2. Summe enthält alle Summanden, wo der Exponent von i (bzw. x) bei Division durch 4 den Rest 1 hat. c) die 3. Summe enthält alle Summanden, wo der Exponent von i (bzw. x) bei Division durch 4 den Rest 2 hat. d) die 2. Summe enthält alle Summanden, wo der Exponent von i (bzw. x) bei Division durch 4 den Rest 3 hat. Jeder Summand der ursprünglichen Summe kommt in genau einer dieser 4 Summen vor. Damit ist die Gleichheit gewährleistet. Schreiben wir das mal in Formel auf, so ist: 1. Summe = $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^{4n} + 1 - (-1)^{4n} - (-3)^{4n}}{(4n)!} \cdot i^{4n} x^{4n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^{4n} + 1 - 1 - 3^{4n}}{(4n)!} \cdot 1 \cdot x^{4n} \end{eqnarray}$ 2. Summe = $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^{4n+1} + 1 - (-1)^{4n+1} - (-3)^{4n+1}}{(4n+1)!} \cdot i^{4n+1} x^{4n+1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^{4n+1} + 1 - (-1) + 3^{4n+1}}{(4n+1)!} \cdot i \cdot x^{4n+1} \end{eqnarray}$ Ich denke, die beiden weiteren Summen kannst du jetzt selber aufschreiben.
03.07.2015, 17:59	Chemiestudent2,718	Auf diesen Beitrag antworten »
Es hat etwas gedauert, aber jz habe ichs verstanden Das hat mir sehr weiter geholfen, danke ! Ich hätte da gleich noch eine Frage zum Teil b von diesem Beispiel. Das konnte ich zwar lösen, indem ich 2x hintereindander eine bekannte, abgegrochene Reihe in die Cochy-Produktformel einsetze, ist aber etwas umständlicher als die Reihe "Cos^2 x" so wie in der Ausarbeitung zu bilden... Dieser Cosinussatzt "cos^2 x = (1+cos 2x)/2" dürfte zwar allgemein bekannt sein, habe ich aber in keiner zugelassenen Formelsammlung für die Prüfung. Kann man sich das "halbwechs" einfach herleiten, od. ist es besser sich das einfach auswendig zu merken? Mit "cos^2 x = cos 2x + sin^2 x" kommt man da nicht so einfach daruaf od?

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