Konvergenz einer Potenzreihe

29.06.2015, 22:31

markus.felser

Konvergenzreihe bestimmen

Ich habe eine Funktion mit der nachfolgenden Summenformel

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^{\infty} (2x)^{i} \end{eqnarray*}$

Die Aufgabe ist es den Konvergenzradius zu bestimmen
Danach soll man noch entscheiden ob es sich um eine Taylorreihe handelt und wenn ja x0 bestimmen.

Für den Konvergenzbereich haben wir diese Formel verwendet

$\begin{eqnarray*} \lim_{i \to \infty } | \frac{a_{n} }{a_{n+1} } | \end{eqnarray*}$

aber leider weiß ich nicht mehr was ich für was einsetzen muss.

Vielen Dank für die Hilfe

30.06.2015, 00:14

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RE: Konvergenzreihe bestimmen
Ich würde die Potenzreihe zunächst umschreiben in

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty 2^nx^n \end{eqnarray*}$

Dann ist sie in der Form $\begin{eqnarray*} \sum_n a_n x^n \end{eqnarray*}$ und damit ist $\begin{eqnarray*} a_n=2^n \end{eqnarray*}$ . Dann kannst du das von dir bereits vorgeschlagene Quotientenkriterium verwenden.

30.06.2015, 08:23

markus.felser

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RE: Konvergenzreihe bestimmen
Ist das Ergebnis dann so?

$\begin{eqnarray*} = \lim_{i \to \infty } | \frac{2^{i} }{2^{i+1} } |= \lim_{i \to \infty }| \frac{2^{i} }{2^{i}\cdot 2^{1} } | = \pm \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

30.06.2015, 08:36

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RE: Konvergenzreihe bestimmen
Fast. Ich würde das Minus weglassen, weil du den Konvergenzradius berechnest und ein Radius nicht negativ ist.

30.06.2015, 08:47

markus.felser

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RE: Konvergenzreihe bestimmen
achso ich dachte nur wegen dem Betrag, dass ich da dann +,- nehmen muss?

so und zu meinem anderen Problem ob die Funktion eine Taylorreihe ist.
und wenn ja x(0) bestimmen

Wie kann ich das lösen?

geht das nur mit folgenden Ansatz?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty } \frac{f^{n}\cdot \left(x_{0} \right) }{n!} \cdot \left(x-x_{0} \right)^{n} = \sum\limits_{k=1}^{\infty } \left(2x\right)^{k} \end{eqnarray*}$

oder is das dann gar nicht die Begründung zur Taylorreihe sondern nur ein Weg um x(0) zu bestimmen?

30.06.2015, 09:18

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RE: Konvergenzreihe bestimmen
Lass dich vom Betrag nicht irritieren, der soll den Konvergenzradius tatsächlich nichtnegativ machen. r=1/2 sagt nun aus, dass die Potenzreihe für $\begin{eqnarray*} x\in(-\frac12,\frac12) \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Doch ich würde sagen, dass dein Ansatz richtig ist. Es wäre vllt schöner, beide Reihen mit demselben Laufindex zu versehen, also
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{f^n(x_0)}{n!}(x-x_0)^n=\sum\limits_{n=0}^\infty(2x)^n \end{eqnarray*}$

Allerdings sehe ich hier nicht, wie $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty(2x)^n \end{eqnarray*}$ eine Taylorreihe sein soll. Es kommt schließlich keine Fakultät darin vor.

30.06.2015, 09:57

markus.felser

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RE: Konvergenzreihe bestimmen
So hat ein Beispiel in der Vorlesung ausgesehen mit der Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty }2 \cdot 2^{k}\cdot x^{k} \end{eqnarray*}$
Erst der allgemeine Ansatz:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty } \frac{f^{n}\cdot \left(x_{0} \right) }{n!} \cdot \left(x-x_{0} \right)^{n} = \sum\limits_{k=1}^{\infty }2 \cdot 2^{k}\cdot x^{k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{f^{n}\cdot \left(x_{0} \right) }{n!} = 2\cdot 2^{k} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \left(x-x_{0} \right)^{n}= x^{k} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_{0} = 0 \end{eqnarray*}$
Somit war x(0) bestimmt
und dann als Zusatz noch die letzte Zeile, wo ich leider nicht weiß für was ich das dann noch brauche

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty } a_{n} \cdot (x-x_{0}^{n}= \sum\limits_{n=0}^{\infty } \frac{f^{n}\cdot \left(x_{0} \right) }{n!} \cdot \left(x-x_{0} \right)^{n} = \sum\limits_{n=0}^{\infty } 2\cdot 2^{n}\cdot \left(x-x_{0} \right)^{n} = 2\cdot \sum\limits_{n=0}^{\infty } \left(2x\right)^{n} \end{eqnarray*}$

Vielleicht hilft dir dieses Beispiel zur Erklärung
Und hier hat der Dozent gemeint es handelt sich um eine Taylor reihe. wobei ich hier auch keine Fakultät sehe
Vielen Dank

30.06.2015, 10:13

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RE: Konvergenzreihe bestimmen
Dass $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ ist, sieht man ja recht leicht.

Ok, laut deiner Vorlesung wird f gar nicht explizit angegeben, sondern nur als analytische Funktion (s. Wikipedia) bestimmt: Hier wäre das also
$\begin{eqnarray*} \frac{f^n\cdot(x_0)}{n!}=2^n \end{eqnarray*}$

Für analytische Funktionen stimmen Potenzreihe und Taylorreihe überein, was die letzte Zeile erklärt.

Kurz gesagt: Deine Potenzreihe ist eine Taylorreihe. Das kannst du ganz analog nachrechnen wie ihr das in der Vorlesung gemacht habt. Nur musst du die zusätzliche 2 immer weglassen

30.06.2015, 10:31

markus.felser

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RE: Konvergenzreihe bestimmen
gut Danke du warst mir eine Riesenhilfe.
!!!

30.06.2015, 10:46

Matt Eagle

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RE: Konvergenzreihe bestimmen
Ich verstehe nicht so ganz was ihr hier treibt?!?

Für $\begin{eqnarray*} |2x|<1 \end{eqnarray*}$ gilt doch laut geom. Summenformel:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty (2x)^n=\frac 1{1-2x}=:f(x). \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty 2^n~x^n \end{eqnarray*}$ die Taylorreihe von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ um $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und insbesondere gilt

$\begin{eqnarray*} f^{(n)}(0)=n!\cdot 2^n. \end{eqnarray*}$

05.07.2015, 14:54

markus.felser

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RE: Konvergenzreihe bestimmen
und was soll das jetzt heißen. Ist das obere dann alles Falsch ? oder was ist los?

Ich habe noch eine andere Frage

$\begin{eqnarray*} 2\frac{\left(2x\right)^{n+1}-1 }{2x-1} = 2\frac{\left(2x\right)^{n}}{2x-1} \end{eqnarray*}$

Wie kommt man auf diese Form warum kann man das ^(n+1) -1 einfach kürzen

05.07.2015, 15:00

markus.felser

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RE: Konvergenzreihe bestimmen
außerdem frag ich mich ob ich das <1 einfach festlegen kann? weil das würde das ganze natürlich sehr vereinfachen?

05.07.2015, 23:50

Nullmenge

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RE: Konvergenzreihe bestimmen
Nein falsch ist das obere nicht. Es geht in diesem Fall nur einfacher und kürzer.

Die Gleichheit

$\begin{eqnarray*} 2\frac{\left(2x\right)^{n+1}-1 }{2x-1} = 2\frac{\left(2x\right)^{n}}{2x-1} \end{eqnarray*}$

sehe ich nicht, bzw. ich denke, das gilt sogar nicht.

Zitat:

außerdem frag ich mich ob ich das <1 einfach festlegen kann? weil das würde das ganze natürlich sehr vereinfachen?

Was meinst du?

06.07.2015, 00:45

Helferlein

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Dafür hat er inzwischen einen eigenen Thread aufgemacht. Besser wäre es natürlich gewesen, das Thema hier zu Ende zu diskutieren.

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Konvergenz einer Potenzreihe

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