Wahrscheinlichkeitsrechnung

30.06.2015, 10:30	Stapelchip	Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeitsrechnung Meine Frage: Hallöchen, ich bin gerade dabei für jemanden, der momentan die 12. Klasse besucht, ein paar Aufgaben zu lösen, da er sie nicht verstanden hat. Ich selbst hatte im Bachelor jede Menge Stochastik und dachte "Naja, so schwer kann es nicht werden". Ein paar Sachen haben ich ohne Probleme gerechnet, aber bei zwei Aufgaben stehe ich mächtig auf dem Schlauch. 1)Drei Seitenflächen eines Tetraeders sind mit der Ziffer 4 beschriftet. Die vierte Seitenfläche soll so beschriftet werden, dass bei zweimaligem würfeln die Summe der Zahlen der Erwartungswert 25 hat. - Ich hab überhaupt keine Ahnung, wie ich hier anfangen soll. 2)Von 10 Grenzgängern haben 3 illegale Drogen dabei. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass bei 50 kontrollierten Personen a)genau 15 b) mindestens 15 c)höchstens 8 Personen Drogen mit sich führen. Meine Ideen: Bei der zweiten Aufgabe habe ich für b) mindestens 15 Personen einen Wert von 99,9% ausgerechnet, aber bei "höchstens" und "genau" habe ich keinen Schimmer. Ich hoffe jemand kann mir fix ein paar Denkanstöße geben.
30.06.2015, 10:43	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu a) Betrachten wir erstmal einen Wurf und da mit $\begin{align} X \end{align}$ die zufällige gewürfelte Zahl. Beschriften wir die vierte Tetraederseitenfläche mit der zunächst noch unbekannten Zahl $\begin{align} a \end{align}$ , dann ergibt sich der Erwartungswert $\begin{align} E(X) = \frac{1}{4}(4+4+4+a) = 3+\frac{a}{4} \end{align}$ Beim zweimaligen Würfeln gilt dann für die Summe $\begin{align} E(X_1+X_2) = E(X_1)+E(X_2) = 2\cdot \left(3+\frac{a}{4}\right) = 6+\frac{a}{2} \end{align}$ . Tja, und das soll nun gleich 25 sein... Zu b) Die Angabe "Von 10 Grenzgängern haben 3 illegale Drogen dabei" ist statistisch zu verstehen, d.h. jeder einzelne Grenzgänger hat mit Wahrscheinlichkeit $\begin{align} \frac{3}{10} = 0.3 \end{align}$ illegale Drogen dabei. Bei 50 Leuten hat man dann für die betrachtete zufällige Anzahl $\begin{align} X \end{align}$ an Drogen-Grenzgängern die Binomialverteilung $\begin{align} X\sim B(50,0.3) \end{align}$ , mit der man alles ausrechnen kann. P.S.: Angesichts von $\begin{align} E(X)=15 \end{align}$ ist deine Aussage "99.9% für mindestens 15 Personen" sicher falsch - da muss man gar nicht nachrechnen, um das zu erkennen.
30.06.2015, 11:01	Stapelchip	Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeit Okay bei a) ist der Groschen gefallen, vielen lieben Dank. Aber b) bringt mich leider nicht weiter
30.06.2015, 11:24	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Dieses "bringt mich nicht weiter" deute ich mal so, dass du noch nie Wahrscheinlichkeiten einer binomialverteilten Zufallsgröße ausgerechnet hast?
30.06.2015, 11:27	Stapelchip	Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeit Schande über mein Haupt : hab ich schon gemacht Aber ich hab es einfach verdrängt, ich komme nicht drauf.
30.06.2015, 11:45	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, für $\begin{align} X\sim B(n,p) \end{align}$ hat man erstmal die Einzelwahrscheinlichkeiten $\begin{align} P(X=k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} \end{align}$ da betrifft etwa direkt Aufgabe a). Für Intervallwahrscheinlichkeiten muss man dann summieren, also z.B. $\begin{align} P(X\leq b) = \sum_{k=0}^b P(X=k) = \sum_{k=0}^b \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} \end{align}$ , das betrifft c). Es soll auch Tabellen geben, wo für bestimmte $\begin{align} n,p \end{align}$ -Werte derlei kumulierten Wahrscheinlichketen festgehalten sind. Oder etwas moderner, diverse CAS beinhalten sowas natürlich auch. Gelegentlich ist es auch nützlich, über die Gegenwahrscheinlichkeit zu gehen, weil da weniger zu summieren ist. Im vorliegenden Fall wäre das bei b) anratsam, über $\begin{align} P(X\geq 15) = 1-P(X< 15) = 1-P(X\leq 14) \end{align}$ . Den Rest liest du bitte mal selbst nach: https://de.wikipedia.org/wiki/Binomialverteilung
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01.07.2015, 10:12	Stapelchip	Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeit Habs es lösen können. Vielen lieben Dank! Hatte einen grundlegen Denkfehler in meiner Rechnung.

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