Abbildungsmatrix eines Isomorphismus

30.06.2015, 12:23	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildungsmatrix eines Isomorphismus Meine Frage: Hallo Leute, ich brauche kurz eure Hilfe. Stimmt die folgende Aussage? Sei $\begin{eqnarray} f:V \to V \end{eqnarray}$ eine bij. lineare Abbildung (also ein Isomorphismus). Dann existiert zu jeder Basis $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ immer eine Basis $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ , so dass gilt: $\begin{eqnarray} M_{B,C} = I_n \end{eqnarray}$ (hierbei ist $\begin{eqnarray} I_n \end{eqnarray}$ die Einheitsmatrix der Dimension $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Also ich glaube dass die Aussage so stimmt und haben mir folgenden Beweis überlegt. Sei also alles wie oben gegeben. $\begin{eqnarray} B=\{b_1,...,b_n \} \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} dim(V) =n \end{eqnarray}$ . Es gilt ja: $\begin{eqnarray} f \ injektiv \Leftrightarrow f(B) \end{eqnarray}$ ist linear unabhängig) $\begin{eqnarray} f \ surjektiv \Leftrightarrow f(B) \end{eqnarray}$ ist ein ERZS von V (allg, von W, aber hier eben von V) $\begin{eqnarray} f \ bijektiv \Leftrightarrow f(B) \end{eqnarray}$ ist eine Basis von V Nun wähle ich einfach: $\begin{eqnarray} C = f(B) \end{eqnarray}$ In der Matrix $\begin{eqnarray} M_{B,C} \end{eqnarray}$ stehen ja gerade die Koeffizienten der LK für die Bilder der Basisvektoren. Also betrachte ich mal die Bilder der Basisvektoren aus $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ und stelle sie mit meiner zweiten Basis $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ als LK dar. Es gilt dann: $\begin{eqnarray} f(b_j) = \alpha_{1j} c_1 + ... + \alpha_{nj}c_n \end{eqnarray}$ Nun ist aber $\begin{eqnarray} c_j \end{eqnarray}$ gerade gleich $\begin{eqnarray} f(b_j) \end{eqnarray}$ Also muss $\begin{eqnarray} \alpha_{jj} = 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \alpha_{ij} = 0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} i \neq j \end{eqnarray}$ gelten. Damit gilt dann aber: $\begin{eqnarray} M_{BC} = I_n \end{eqnarray}$ stimmt das so? Danke für die Hilfe
01.07.2015, 11:45	Math1986	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungsmatrix eines Isomorphismus Ja, das ist soweit richtig.
13.09.2015, 12:38	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungsmatrix eines Isomorphismus Gerade kam mir der Gedanke wieder in den Kopf und ich habe mich gefragt, warum man dann diese ganze Diagonialiserungsgeschichte machten muss. Oder überhaupt braucht, wenn so wie oben beschrieben eh immer die Einheitsmatrix bekommen kann. Der Grund ist doch folgender: Die lineare Abbidlung $\begin{eqnarray} f: V \to V \end{eqnarray}$ muss ja i.A. weder injektiv noch surjektiv sein. Also wird sie im Allgemeinen auch nicht bijektiv sein. Wenn sie aber injektiv ist, dann ist sie ja Falle dass $\begin{eqnarray} dim(V) = n \end{eqnarray}$ gilt, auch surjektiv, also auch bijektiv und dann müsste es doch immer so gehen. Warum ist man so interessiert daran, Matrizen mit der gleichen Basis im Bildraum und Urbildraum zu diagonlisieren? Es geht doch wenn ich verschiedene Basen nehme viel besser
13.09.2015, 13:18	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungsmatrix eines Isomorphismus Weil man durch die Diagonalisierung erhebliche Informationen über die Abbildung bekommt. Wenn du einfach verschiedene Basen nimmst, dann kannst du beispielsweise keine Aussagen über Eigenwerte und -vektoren machen, da die Werte der Matrix dann ziemlich beliebig werden. Es fehlen dann auch Invarianten wie die Spur oder die Determinante, die ja bei Ähnlichkeitstransformationen erhalten bleiben. Du kannst dann z.B. auch immer eine Einheitsmatrix draus machen. Die wesentlichen Informationen über die Abbildung stecken dann in den Basen, was nicht besonders sinnvoll ist. Man will ja auch Abbildungen verketten, was nur Sinn macht, wenn man in Bild und Urbild dieselbe Basis benutzt.
13.09.2015, 13:24	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungsmatrix eines Isomorphismus Ah okay, das macht es klar Danke für die schnelle Antwort

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