Riemann-Integrierbarkeit bei Mehrfach-Integralen

30.06.2015, 15:10	Mathemati	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo zusammen, ich hadere aktuell an folgender Aufgabe und hoffe ihr könnt mir hier einen Anstoß geben: "Sei I $\begin{eqnarray} \subset \end{eqnarray}$ R^n ein n-dimensionales Integral und f: I $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ R beschränkt. Zeigen Sie, dass f genau dann Riemann-integrierbar ist, wenn es zu jedem Epsilon > 0 ein Phi > 0 gibt, so dass für jede Zerlegung Z mit n(Z) < Phi die Ungleichung OZ-UZ < Epsilon gilt." Ich bin mir ehrlich gesagt unsicher, wie ich hier starten soll, da ich mich mit Beweisen leider noch sehr schwer tue. Hättet ihr einen Tipp, wie ich mit dieser Aufgabe beginne? Auf den ersten Blick hätte ich gedacht, dass ich evtl. mit einem Gegenbeweis zeige, dass f nicht Riemann-integrierbar ist, wenn es mehrere Phis zu jedem Epsilon gibt... Vielen Dank vorab für eure Hilfe!! Korrektur aus zweitem Beitrag eingefügt, diesen gelöscht, damit Antwortzähler auf Null steht. Steffen
01.07.2015, 01:49	rg	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Beweis fuer allgemeines n geht haargenau so, wie der fuer n=1. Letzteren solltest Du in Deinen Unterlagen vom letzten Semester finden.
01.07.2015, 10:25	Mathemati	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo rg, dankeschön für den Hinweis. Ich habe mir nun eine Lösung überlegt, geht diese in die richtige Richtung? "<=" Sei Epsilon > 0 und wir wählen eine Zerlegung Z mit Oz - Uz < Epsilon. Wegen Uz <= $\begin{eqnarray} \int_{a}^{b} \! f(x) \, dx \end{eqnarray}$ <= $\begin{eqnarray} \int_{a}^{b} \! f(x) \, dx \end{eqnarray}$ <= Oz folgt 0 <= $\begin{eqnarray} \int_{a}^{b} \! f(x) \, dx \end{eqnarray}$ - $\begin{eqnarray} \int_{a}^{b} \! f(x) \, dx \end{eqnarray}$ < Epsilon Diese Aussage gilt für alle Epsilon > 0, so dass das obere und untere Integral immer gleich sind. Ich würde mir dann noch die andere Richtung "=>" überlegen.
01.07.2015, 16:05	Mathemati	Auf diesen Beitrag antworten »
Anbei nun auch mein Vorschlag für die andere Richtung: "=>" Sei f integrierbar, M:= $\begin{eqnarray} \int_{a}^{b} \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$ und Epsilon > 0 sei beliebig. M stellt nun das Infimum der Obersummen bzw. das Supremum der Untersummen dar, so dass es die Zerlegungen z1 und z2 von [a,b] gibt und folglich M - Uz1 < Epsilon/2 und Oz2 - M < Epsilon/2 Sei z' eine gemeinsame Verfeinerung von z1 und z2. Dann ist wegen Uz <= Uz' und Oz' <= Oz folglich Uz1 >= Uz und Oz <= Oz2, und damit M - Uz < Epsilon/2 und Oz-M < Epsilon /2 Bei Addition der Gleichungen folgt: Oz - Uz < Epsilon. Ist dieser Beweis aus eurer Sicht so akzeptabel?

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