Rang einer Matrix mit mehr Unbekannten als Zeilen

30.06.2015, 15:51	checkmathenicht	Auf diesen Beitrag antworten »
Rang einer Matrix mit mehr Unbekannten als Zeilen Meine Frage: [attach]38606[/attach] Meine Ideen: Generell geht man ja per Gaußverfahren vor um Die mAtrix in eine Zeilenform zu bringen. Da A ja eine 3x4 Matrix ist, kann sie ja maximal Rang 3 haben, ist diese Annahme richtig? Nachdem man dann Gauß auf die Matrix angewendet hat, sieht bei mir die Matrix wie folgt aus: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & -6 \\ 0 & 1 & -1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Und hat somit nur den Rang 2 Den zweiten Teil der Aufgabe verstehe ich allerdings nicht wirklich auf anhieb, wie soll ich am die Basen kommen? Generell würde ich sagen, ich nehme die Einheitsbasis des R3 und mache f(E)=(AE) und habe die Basis für den R3. für den R4 fürde ich $\begin{eqnarray} f^{-1}(E) \end{eqnarray*}$ machen und hätte die Basis für den R4, allerdings komme cih mit der Bedingung nicht ganz zurecht.Ich weiß, dass es nicht die beste Frage ist da ihr ja nicht meinen Dozenten habt, aber was kann mit Er gemeint sein, meine Tutorin antwortet leider nicht.
30.06.2015, 18:54	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Das wird die r x r-Einheitsmatrix sein.
30.06.2015, 22:23	checkmathenicht	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe deine Aussage gerade nicht genau mir rxr-Einheitsmatrix
30.06.2015, 22:49	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Matrix mit r Zeilen und r Spalten. In der Diagonalen dieser Matrix stehen nur einsen an allen anderen Stellen Nullen.
30.06.2015, 22:59	checkmathenicht	Auf diesen Beitrag antworten »
ah ok also quasi $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0& 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
30.06.2015, 23:55	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Da fehlt noch eine Spalte. Die Abbildung geht ja immer noch vom $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray}$ in den $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$
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01.07.2015, 00:03	checkmathenicht	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0& 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 &0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Aber zu dem Resr meienr Überlegung oder meinem Ansatz kannst du mir nichts weiter sagen oder?
01.07.2015, 00:32	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab nicht ganz durchschaut, was Du vorhast, aber schon die Aussage f(E)=(AE) ist fragwürdig, denn wenn E eine Basis des $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ sein soll, dann kannst Du sie mit f gar nicht abbilden, da die Urbilder aus dem $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray}$ stammen müssen. (Mal ganz zu schweigen von der Darstellung. Soll das rechts eine Familie von Vektoren sein oder ist E als Matrix zu sehen und das Ergebnis dann wieder eine Matrix?) Gehen wir doch mal logisch vor: Was bedeutet die Darstellungsmatrix? Du suchst eine Basis $\begin{eqnarray} \{a_1,a_2,a_3,a_4\} \subset \mathbb{R}^4 \end{eqnarray}$ und eine Basis $\begin{eqnarray} \{b_1,b_2,b_3\} \subset \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ mit der Eigenschaft, dass $\begin{eqnarray} f(a_1)=b_1, f(a_2)=b_2, f(a_3)=f(a_4)=0 \end{eqnarray}$ . Damit sollte die Wahl von $\begin{eqnarray} a_3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a_4 \end{eqnarray}$ klar sein. Für den Rest brauchst Du eine Ergänzung der Basis mit deren Bildern und das sollte es dann auch schon gewesen sein.

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