Invarianter Unterraum

30.06.2015, 22:52	2cool4skool	Auf diesen Beitrag antworten »
Invarianter Unterraum Meine Frage: Sei V ein nichttrivialer endlich-dimensionaler reeller Vektorraum und F Element des End(V) eine lineare Abbildung mit F²=-id(V). Zeigen Sie, dass V in die direkte Summe 2-dimensionaler F-invarianter Unterräume zerfällt. Ich komm da ehrlich gesagt grade gar nicht weiter, eventuell mangelt es an meinem Wissen über invariante Untervektorräume oder ich kann es mir nicht recht erklären. Meine Ideen: So wie ich es verstanden habe, ist W invarianter Unterraum von V, falls es zu einem die Bedingungen für einen Unterraum erfüllt, sowie f(W)=W gilt. Was genau bedeutet nun das F-invariant? Mit freundlichen Grüßen 2cool4skool
01.07.2015, 11:28	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} W\le V \end{eqnarray}$ ist genau dann $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ -invariant, wenn $\begin{eqnarray} F(W)\le W \end{eqnarray}$ gilt. Nachtrag: Vielleicht hilft es weiter, wenn wir uns klar machen, dass $\begin{eqnarray} F^2 \end{eqnarray}$ ein Isomorphismus, also auch $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ ein Isomorphismus und $\begin{eqnarray} F^4=id \end{eqnarray}$ ist. (Viel mehr ist m.E. in den Voraussetzungen nicht enthalten.) Daraus folgt dann schon mal, dass $\begin{eqnarray} F(W)=W \end{eqnarray}$ für jeden $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ -invarianten Untervektorraum $\begin{eqnarray} W\le V \end{eqnarray}$ gilt.

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