Satz von Stokes - Integralberechnung

01.07.2015, 10:31	marcelinho	Auf diesen Beitrag antworten »
Satz von Stokes - Integralberechnung Hallo zusammen! Bei folgender Aufgabe bräuchte ich etwas Hilfestellung. Also ich würde sagen, dass U ein Kreis mit Radius Wurzel 3 ist und der Rand davon ist dann eben u^2 + v^2 = 3, oder? Nun ist für U bereits eine Parametrisierung gegeben, aber wie kann ich das auf den Rand übertragen? Soll ich da die Polarkoordinaten benutzen? Und vom Vektorfeld würde ich zunächst mal die Rotation berechnen, doch dann fehlt mir noch n, das äußere Einheitsnormalenfeld. Also wahrscheinlich alles halb so wild, aber brauche etwas Hilfe, vielleicht auch in der Veranschaulichung, damit ich das Integral berechnen kann. Vielen Dank!
01.07.2015, 12:38	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Man muss dieses mathematische Kauderwelsch mehrmals durchlesen, um zu verstehen, was gemeint ist. Ich übersetze mal: ----------------------------------------------------------------- Auf der xy-Ebene befindet ein Kreis mit dem Radius $\begin{eqnarray} r=\sqrt{3} \end{eqnarray}$ und dem Mittelpunkt M(0;0). Über diesem Kreis ist eine eine Hyperboloid-Fläche z=x²-y² gegeben, auf welcher wiederum ein Vektorfeld $\begin{eqnarray} \vec F \end{eqnarray}$ definiert ist. Zu berechnen ist das Wegintegral über die Randkurve dieses Teilfläche des Hyperboloides. Mit dem Stokschen Satz kann man dieses Wegintegral in ein Oberflächenintegral umwandeln, welches berechnet werden soll: $\begin{eqnarray} \oint_{\text{Rand}} \vec F(\vec x)\,d\vec x=\int\int_{\text{Fläche}}rot(\vec F)\,d\vec A \end{eqnarray}$ Eine Darstellung des Flächenelementes $\begin{eqnarray} d\vec A \end{eqnarray}$ ergibt sich bekanntlich aus dem Vektorprodukt der Tangentialvektoren. In Polarkoordinaten hat man: $\begin{eqnarray} \int\int_{\text{Fläche}}rot(\vec F)\,d\vec A=\int_{r=0}^{\sqrt{3}}\int_{\phi=0}^{2\pi}rot(\vec F)\cdot \underbrace{\left (\tfrac{\partial \vec x}{\partial r} \times \tfrac{\partial \vec x}{\partial \phi} \right )\,\,dr d\phi}_{d\vec A} \end{eqnarray}$ Um das Flächenelementes $\begin{eqnarray} d\vec A \end{eqnarray}$ zu berechnen, benötigen wir eine Parameterdarstellung der Hyperboloid-Fläche. In kartesischen Koordinaten hat man $\begin{eqnarray} \vec x(x,y)=\begin{pmatrix} x \\ y \\ x^2-y^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ In Zylinderkoordinaten heißt das $\begin{eqnarray} \vec x(r,\phi)=\begin{pmatrix} r\cdot \cos(\phi) \\ r\cdot \sin(\phi) \\ r^2\cdot \cos^2(\phi)-r^2\cdot \sin^2(\phi) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Tangentialvektoren $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial \vec x}{\partial r} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial \vec x}{\partial \phi} \end{eqnarray}$ , welche man für das obige Flächenelement benötigt, gewinnt man durch Ableitung dieser Fläche nach r bzw. nach $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial \vec x}{\partial r}=\begin{pmatrix} \cos(\phi) \\ \sin(\phi) \\ 2r\cdot \cos^2(\phi)-2r\cdot \sin^2(\phi) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial \vec x}{\partial \phi}=\begin{pmatrix} -r\cdot \sin(\phi) \\ r\cdot \cos(\phi) \\ -4r^2\cdot \sin(\phi)\cos(\phi) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Berechne das Vektorprodukt dieser beiden Vektoren und setze es zusammen mit dem konstanten Vektor $\begin{eqnarray} rot(\vec F)=(4\|3\|14) \end{eqnarray}$ in das obige Integral ein.
05.07.2015, 22:18	marcelinho	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich bekomme beim Normalenvektor für x =-r sin^2 phi - 2r^2 cos^2 phi + 2r^2 sin^2 phi cos phi, y = -2r^2 cos^2 phi sin phi + 2r^2 sin^3 phi - 4r^2 sin phi cos^2 phi z = r Doch damit kommen beim Integrieren doch etwas krumme Ergebnisse zustande, die mich an der Richtigkeit zweifeln lassen. Ist diese Parametrisierung nötig/richtig? Komme leider nicht so richtig weiter...
06.07.2015, 09:47	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich sehe gerade, dass deine Aufgabe viel einfacher ist, als ich dachte. Man muss gar kein Integral berechnen. -------------------------------------- Zu berechnen war ein Oberflächenintegral $\begin{eqnarray} I=\int \vec j\,d\vec A \end{eqnarray}$ Anschaulich kann man jedes Oberflächenintegral I als die Menge eines Gases integretieren, das bei gegebenere (ortsabhängiger) Stromdichte $\begin{eqnarray} \vec j \end{eqnarray}$ durch eine gegebene gekrümmte Fläche A strömt. In deinem speziellen Fall ist die Stromdichte $\begin{eqnarray} \vec j=rot(\vec F)=(4\|3\|14) \end{eqnarray}$ ein konstanter Vektor und folglich überall im Raum gleich groß. Deshalb ist klar, das die Gasmenge, welche durch die gekrümmte Hyperboloid-Fläche strömt identisch zur derjenigen Gasmenge sein muss, welche durch die Kreisfläche mit dem Radius $\begin{eqnarray} r=\sqrt{3} \end{eqnarray}$ strömt. Dieser Kreis ist nämlich gerade die Projektion der gekrümmten Hyperrboloid-Fläche auf die xy-Ebene. Folglich reduziert sich das Oberflächenintergral zu einem einfachen Skalarprodukt $\begin{eqnarray} I=\vec j\cdot \underbrace{\vec n\cdot A}_{\text{"Flächenvektor" }\vec A} \end{eqnarray}$ Bezeichnung: $\begin{eqnarray} \vec j=rot(\vec F)=(4\|3\|14) \end{eqnarray}$ = konstante Stromdichte $\begin{eqnarray} A=r^2\pi=\sqrt{3}^2\pi=3\pi \end{eqnarray}$ = Kreisfläche $\begin{eqnarray} \vec n=(0\|0\|1) \end{eqnarray}$ = Normaleneinheitsvektor der Kreisfläche auf der xy-Ebene Einsetzen in das Skalarprodukt liefert das Ergebnis $\begin{eqnarray} I=42\pi \end{eqnarray}$
06.07.2015, 11:53	marcelinho	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, das ist einigermaßen verständlich, aber sollte man mithilfe der Prametrisierung und des Integrals nicht auf das gleiche Ergebnis kommen. Würde schon gerne den Satz von Stokes anwenden und das Integral berechnen, da die Aufgabe wohlcdarauf abzielt.
06.07.2015, 12:47	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die beiden Tangentialvektoren hatte ich dir berechnet. Sie lauteten $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial \vec x}{\partial r}=\begin{pmatrix} \cos(\phi) \\ \sin(\phi) \\ 2r\cdot \cos^2(\phi)-2r\cdot \sin^2(\phi) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial \vec x}{\partial \phi}=\begin{pmatrix} -r\cdot \sin(\phi) \\ r\cdot \cos(\phi) \\ -4r^2\cdot \sin(\phi)\cos(\phi) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das Vektorprodukt dieser beiden Vektiren ergibt: $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial \vec x}{\partial r} \times\tfrac{\partial \vec x}{\partial \phi}=\begin{pmatrix} -2r^2\cdot \cos(\phi) \\ 2r^2\cdot \sin(\phi) \\ r \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Bitte nochmal selbst nachrechnen!. Bei der Vereinfachung der Terme habe ich folgende bekannten Beziehungen benutzt $\begin{eqnarray} \cos^2{\phi}+\sin^2{\phi}=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \cos^2{\phi}-\sin^2{\phi}=1-2\sin^2{\phi} \end{eqnarray}$ Setze das soeben berechnete Vektorprodukt und den konstanten Vektor $\begin{eqnarray} rot(\vec F)=(4\|3\|14) \end{eqnarray}$ in das Integral ein, das ich dir angegeben habe. Der Integrand ist dann ein einfaches Skalarprodukt...
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06.07.2015, 14:16	marcelinho	Auf diesen Beitrag antworten »
Damit komme ich ebenfalls auf 42 pi, vielen Dank! Beim Kreuzprodukt hatte ich mich einerseits verrechnet, andererseits wäre ich nicht drauf gekommen, diese Beziehungen zu benutzen. Danke nochmal!

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