Gleicher Nilpotenzindex => Ähnlichkeit

01.07.2015, 11:28

qwertz235

Gleicher Nilpotenzindex => Ähnlichkeit

Hallo,
mir fehlt zu einem Beweis noch der Ansatz. Es seien A,B zwei reelle und nilpotente (3x3)-Matrizen mit gleichem Nilpotenzindex. Nun soll daraus folgen, dass A und B ähnlich sind.

Für den Index k kommen ja nur k=1,2 und 3 in Frage. Für k=1 ist es trivial, da A und B die Nullmatrix sind. Für k=3 habe ich einen Satz aus der Vorlesung benutzt, dass es eine invertierbare Matrix S und eine invertierbare Matrix R gibt, sodass $\begin{eqnarray*} S^{-1}AS=J \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} R^{-1}BR=J \end{eqnarray*}$ gilt, wobei J der Jordanblock der Größe 3 zum Eigenwert 0 ist. Nach Gleichsetzen der Gleichungen erhalte ich dann die invertierbare Matrix $\begin{eqnarray*} U:=ST^{-1} \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} U^{-1}AU=B \end{eqnarray*}$ gilt.

Aber für k=2 fehlt mir leider noch der Ansatz. Kann mir da jemand bitte helfen?

Viele Grüße

01.07.2015, 11:42

Math1986

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RE: Gleicher Nilpotenzindex => Ähnlichkeit
Hallo,
es gibt mehrere Ansätze dies zu zeigen.
Du könntest zum Beispiel versuchen, das charakteristische Polynom und das Minimalpolynom dieser Matrizen zu bestimmen.
Du könntest auch mit der Gleichheit $\begin{eqnarray*} A^k=B^k=0 \end{eqnarray*}$ arbeiten.

01.07.2015, 12:17

qwertz235

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RE: Gleicher Nilpotenzindex => Ähnlichkeit
Den Ansatz mit $\begin{eqnarray*} A^{k}=B^{k}=0 \end{eqnarray*}$ hatte ich auch, aber ich habe keine Idee, was man daraus folgern könnte.

01.07.2015, 12:20

Math1986

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RE: Gleicher Nilpotenzindex => Ähnlichkeit

Zitat:

Original von qwertz235
Den Ansatz mit $\begin{eqnarray*} A^{k}=B^{k}=0 \end{eqnarray*}$ hatte ich auch, aber ich habe keine Idee, was man daraus folgern könnte.

Bringt dich denn das charakteristische Polynom und das Minimalpolynom weiter?

01.07.2015, 12:31

qwertz235

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RE: Gleicher Nilpotenzindex => Ähnlichkeit
Um ehrlich zu sein nicht wirklich. Wir hatten nämlich auch noch keine Sätze zum Minimalpolynom, bis auf die Tatsache, dass es das charakteristische Polynom teilt.

01.07.2015, 12:50

Math1986

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RE: Gleicher Nilpotenzindex => Ähnlichkeit
Überleg dir auch mal, welche Eigenwerte mullpotente Matrizen haben.
Habt ihr denn den Satz, dass zwei Matrizen genau dann ähnlich sind wenn ihre Jordannormalform gleich ist?

01.07.2015, 13:06

qwertz235

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Nilpotente Matrizen haben den einzigen Eigenwert 0, das wissen wir. Den Satz hatten wir nicht, aber wir wissen. dass nilpotente Matrizen $\begin{eqnarray*} A\in\mathbb{K}^{n,n} \end{eqnarray*}$ , wobei der Index gleich n ist, ähnlich sind zur Jordan-Normalform der Größe n zum Eigenwert 0. Das habe ich für den Fall k=3 auch benutzt, aber für k=2 kann man das nicht anwenden, schätze ich.

01.07.2015, 13:34

Math1986

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Zitat:

aber wir wissen. dass nilpotente Matrizen $\begin{eqnarray*} A\in\mathbb{K}^{n,n} \end{eqnarray*}$ , wobei der Index gleich n ist, ähnlich sind zur Jordan-Normalform der Größe n zum Eigenwert 0.

Was genau ist denn die "Jordan-Normalform der Größe n zum Eigenwert 0"? verwirrt

Ist die Jordan-Normalform denn durch die Dimension n und die Eigenwerte schon eindeutig bestimmt?

Zitat:

Original von qwertz235
Das habe ich für den Fall k=3 auch benutzt, aber für k=2 kann man das nicht anwenden, schätze ich.

Naja, die Jordannormalform sieht für k=2 anders aus als für k=3, nämlich wie genau?

01.07.2015, 14:25

qwertz235

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Das ist dann eben einfach nur die Jordan-Normalform $\begin{eqnarray*} J=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Ich weiß aber nicht, wie sie für k=2 aussehen sollte.

01.07.2015, 15:04

Math1986

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Zitat:

Original von qwertz235
Das ist dann eben einfach nur die Jordan-Normalform $\begin{eqnarray*} J=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Richtig.

Zitat:

Original von qwertz235
Ich weiß aber nicht, wie sie für k=2 aussehen sollte.

Wie sehen denn die Eigenwerte der nilpotenten Matrix aus? Wie sehen also die zugehörigen Jordanblöcke aus?

01.07.2015, 15:39

qwertz235

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Die Eigenwerte sind weiterhin Null, daher weiß ich nicht, inwiefern die Normalform anders aussehen sollte. Könnte höchstens sein, dass sie aus einem 2er und einem 1er Block besteht, also nur eine 1 auf der Nebendiagonalen hat.

01.07.2015, 15:56

Math1986

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Zitat:

Original von qwertz235
Könnte höchstens sein, dass sie aus einem 2er und einem 1er Block besteht, also nur eine 1 auf der Nebendiagonalen hat.

Eben wie sollte sie bei einem Nilpotenzgrad von 2 auch anders aussehen? Damit hast du dann auch gezeigt dass alle solchen Matrizen zur selben Jordannormalform ähnlich sind.

Am besten machst du jetzt noch eine vollständige Übersicht über die verschiedenen Jordannormalformen.

01.07.2015, 16:01

qwertz235

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Alles klar, danke für die ausführliche Hilfe.

Viele Grüße

01.07.2015, 16:54

Math1986

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Zitat:

Original von qwertz235
Alles klar, danke für die ausführliche Hilfe.

Du kannst dir an dieser Stelle ja nochmal überlegen, ob diese Aussage auch für größere Matrizen richtig ist... smile

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