Bogenlänge

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Bogenlänge
Hallo,

bräuchte Hilfe bei der Berechnung der Bogenlänge von im Intervall

Schaffe dort die Integration einfach nicht.

Ansatz:




Über welchen Ansatz lässt sich denn solch ein Term integrieren? Im Papula steht dazu auch kein Lösungsansatz, sofern ich ihn nicht übersehen habe.

Vielen Dank im Voraus!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Partielle Integration liefert zunächst



Letzteres Teilintegral lässt sich über eine passende lineare Substitution in überführen.
grosserloewe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bogenlänge
Wink


Schreibe den Integrand um in:



Substituiere dann:



Ergänzung:

2. Substitution:



Man erhält dann:




und dann weiter mit PBZ(Partialbruchzerlegung)
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von grosserloewe
Substituiere dann:



und dann mit PBZ

In dem Fall ist der Integrand doch aber gar keine rationale Funktion - was bedeutet dann PBZ? verwirrt

Meinst du nicht doch eher ?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Und weil aller guten Dinge drei sind, noch ein Vorschlag. Substituiert man mit einer zunächst nicht näher bestimmten Konstanten , so erhält man



Und die Wahl von führt auf ein bekanntes Integral, das auch in jeder Formelsammlung vorhanden sein sollte, wenn man es nicht selber lösen will.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Interessant. Die diversen Lösungsdarstellungen sind dann über miteinander verknüpft.
 
 
toptoptop Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

vorweg erstmal: ich habe es bisher noch nicht gelöst bekommen. Habe die partielle Integration, wie von HAL 9000 empfohlen, durchgeführt.

Jedoch stellen sich mir zwei Fragen:
Woher weiß ich, dass : ist? Wie komm ich darauf?

und dann habe ich noch Probleme mit der Substitution. (bekomme es gelinde gesagt nicht gebacken.)

Zudem gibt WolframAlpha folgende Lösung des Integrals an:



was nicht zum Ansatz über arcosh(u) passen würde?
Hippocampus Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo smile , ich versuche mal, fortzufahren:
Zitat:



was nicht zum Ansatz über arcosh(u) passen würde?

Hast du an gedacht?

Zitat:

Woher weiß ich, dass : ist? Wie komm ich darauf?

Es ist (denn in unserem Fall).
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wie HAL 9000 finde auch ich es interessant, wie man mit Hilfe verschiedener Zugänge Formeln entdecken oder, sagen wir es etwas bescheidener, wiederfinden kann. Hier noch ein Gedanke:

Statt im nachhinein zu substituieren, kann man auch im voraus den Graphen einer Bewegung unterziehen. Die Bogenlänge bleibt davon unberührt. Und ich meine hier nichts anderes als den Übergang zur Umkehrfunktion, was einer Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden entspricht. Aus



wird nach Vertauschen der Variablen die Umkehrfunktion



Das alte Integrationsintervall geht über in . Mit der neuen Funktion ergibt sich



als Wert der Bogenlänge.
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