Ungleichung beweisen

01.07.2015, 20:02	9mb0	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung beweisen Hallo, ich habe ein Problem aus der Zahlentheorie... Zu beweisen ist folgende Ungleichung: $\begin{eqnarray} a\cdot b\cdot (1-c)+a\cdot (1-b)\cdot c+(1-a)\cdot b\cdot c\leq 1 \end{eqnarray}$ weitere Bedingungen: $\begin{eqnarray} 0 \leq a,b,c \leq 1 \end{eqnarray}$ Ich habe bisher ausmultipliziert und versucht abzuschätzen, jedoch gelingt es mir nicht, die geforderte Eigenschaft zu zeigen.. Ich glaube, dass es nicht sonderlich schwer ist und bräuchte wohl einen kleinen Tipp Vielen Dank!
01.07.2015, 21:38	Kegorus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung beweisen Was mir jetzt dazu einfällt ist, dass die Ungleichung scharf ist, d.h. man kann die linke Seite nicht mehr größer machen(Für zB. a=b=1; c=0 kommt eins raus). Also mit abschätzen gehts nicht, aber vielleicht kann man es als mehrdimensionale Extremwertaufgabe sehen und die Maxima bestimmen..
01.07.2015, 22:16	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Funktion $\begin{align} f(a,b,c) = ab+ac+bc-3abc = a(b+c-3bc) + bc \end{align}$ ist in $\begin{align} a \end{align}$ linear, es ist damit $\begin{align} f(a,b,c) \leq \max\{ f(0,b,c),f(1,b,c)\} \end{align}$ . $\begin{align} f(0,b,c) = bc\leq 1 \end{align}$ ist klar. Der anderen Term $\begin{align} f(1,b,c)= b+c-2bc = b(1-2c)+c \end{align}$ ist nun in $\begin{align} b \end{align}$ linear, es folgt $\begin{align} f(1,b,c)\leq \max\{ f(1,0,c),f(1,1,c)\} = \max\{c,1-c\} \leq 1 \end{align}$ , fertig. P.S.: "Zahlentheorie" ist der völlig falsche Begriff für die Einordnung dieser Ungleichung - Algebra trifft es viel eher.
02.07.2015, 07:14	9mb0	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank euch beiden! Vor allem für die schöne Lösung.

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