Differentialgleichung 2.Ordnung die sich auf solche 1.Ordnung zurückführen lassen

01.07.2015, 20:12

Neuling2015

Differentialgleichung 2.Ordnung die sich auf solche 1.Ordnung zurückführen lassen

Meine Frage:
Folgende Aufgabe:

Die folgende Differentialgleichung zweiter Ordnung kann mit Hilfe einer einfachen Substitution
auf eine erster Ordnung zurückgeführt werden.

(1 + t^2) y'' + (y')^2 + 1 = 0 (t >= 0)
Man bestimme diejenige Lösung dieser Differentialgleichung, die den Anfangsbedingungen
y(0) = 1 und y' (0) = 1 genügt.
Hinweis: Man beachte die Beziehungen
arctan a + arctan b = arctan [(a + b)/(1 - ab)]
und
(1 - t)/(1 + t) = -1 + [2/(1 + t)]

Meine Ideen:
Angefangen habe ich folgendermaßen:
Ich habe y' = u gesetzt:

(1 + t^2) * u' + u^2 + 1 = 0

u' + [1/(1 + t^2)] * u^2 = -[1/(1 + t^2)]

Allerdings weiß ich jetzt nicht genau wie ich weiter vorgehen soll, da hier u^2 steht und nicht einfach nur u...
Ansonsten hätte ich die Formel im Anhang verwendet (was allerdings auch kompliziert wird, deshalb gehe ich davon aus das es einfacher geht)...

Weiß jemand weiter?

01.07.2015, 20:34

grosserloewe

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RE: Differentialgleichung 2.Ordnung die sich auf solche 1.Ordnung zurückführen lassen
Wink

Hallo,

die Zeile:

(1+t^2)u' +u^2+1=0 stimmt.

Hier kannst Du mit Trennung der Variablen weiter machen und kommst auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{du}{-u^2-1} = \frac{dt}{t^2+1} \end{eqnarray*}$

u= ...

Jetzt noch Resubstituieren:

u=y' und 1 mal integrieren und das war es.

Die AWB nicht vergessen.

smile

02.07.2015, 00:31

Neuling2015

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RE: Differentialgleichung 2.Ordnung die sich auf solche 1.Ordnung zurückführen lassen

Zitat:

Original von grosserloewe
Wink

Super, dankeschön Gott

Werde das morgen machen, jetzt ist es schon zu spät...
Habe mich einfach auf die Formel versteift traurig

02.07.2015, 22:56

Neuling2015

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Okay, hänge doch noch ein bisschen. Hier meine Rechnung:

$\begin{eqnarray*} - \int_{}^{} \! \frac{1}{u^{2}+1 } \, du = \int_{}^{} \! \frac{1}{t^{2}+1 } \, dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -arctan (u) = arctan (t) +c_{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u=-tan (arctan (t) +c_{1} ) \end{eqnarray*}$

Rücksubstitution:

$\begin{eqnarray*} u=y^{'} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y^{'}=-tan(arctan(t) + c_{1}) \end{eqnarray*}$

Anfangsbedinung:

$\begin{eqnarray*} y^{'}(0)= 1 \end{eqnarray*}$

--> $\begin{eqnarray*} 1=-tan(c_{1}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_{1}=arctan(-1)=-\frac{\pi }{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y^{'}=-tan(arctan(t)-\frac{\pi}{4} ) \end{eqnarray*}$

Wie soll ich das nun integrieren? Und den gegebenen Hinweis konnte ich auch noch nicht beachten...
Hat jemand eine Idee?

03.07.2015, 13:28

grosserloewe

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das stimmt alles.

Du setzt:

$\begin{eqnarray*} \frac{-\pi }{4} =arctan(-1) \end{eqnarray*}$

und kannst jetzt die angegebene Beziehung anwenden.

Das Integral ist nun sehr einfach.

smile

03.07.2015, 13:42

HAL 9000

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Zitat:

Original von Neuling2015
arctan a + arctan b = arctan [(a + b)/(1 - ab)]

Diese Beziehung gilt nicht für alle $\begin{align*} a,b \end{align*}$ , und das meine ich nicht nur wegen Definitionsfragen - siehe hier.

Tatsächlich benötigt man hier aber nur $\begin{align*} \tan(\arctan(a) + \arctan(b)) = \frac{a+b}{1-ab} \end{align*}$ , was wirklich für alle $\begin{align*} a,b \end{align*}$ gilt, für die überhaupt die Terme definiert sind.

04.07.2015, 15:42

Neuling2015

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Vielen Dank für die Antworten, hat mir sehr geholfen.
Freude

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