Exponentialgleichung

02.07.2015, 15:09

Maximilian222

Exponentialgleichung

Meine Frage:
Hallo Leute,

ich bin total am verzweifeln bei folgender Gleichung:

8^x2+4x-3=9^8x+3

Meine Ideen:
Meine spontane Idee wäre es jetzt mit dem Log zu arbeiten oder muss ich im vorderen Teil die Pq-Formel anwenden? Bin über jede Hilfe dankbar.

Viele Grüße

02.07.2015, 15:14

Mathema

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Bitte schreibe deine Gleichung noch einmal unter Benutzung des Formeleditors auf. Es ist mir nicht klar, wie deine Gleichung nun richtig lautet.

02.07.2015, 15:23

Maximilian2222

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Sorry, hier:

$\begin{eqnarray*} 8^{x2+4x-3} =9^{8x+3} \end{eqnarray*}$

Achja, und als Hinweis steht in der Aufgabenstellung noch (Wählen Sie die Lösungen so, so dass x1 < x2)

02.07.2015, 15:29

Mathema

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Verstehe ich das nun richtig:

Du hast eine Gleichung mit 2 Unbekannten und die 2 ist somit ein Index, also:

$\begin{eqnarray*} 8^{x_2+4x_1-3} =9^{8x_1+3} \end{eqnarray*}$

?

Wie lautet denn nun die genaue Aufgabenstellung?

02.07.2015, 15:31

Gast11022013

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Sehr wahrscheinlich ist

$\begin{eqnarray*} 8^{x^2+4x-3}=9^{8x+3} \end{eqnarray*}$

gemeint.

02.07.2015, 15:37

Maximilian2222

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richtig, entschuldigung, da war wohl ein Tippfehler drin ;-)! Laut Aufgabenstellung soll ich die Exponentialgleichung auflösen, wobei ein x1 und ein x2 rauskommen soll..

02.07.2015, 15:40

Mathema

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Nun dann:

Hast du diese Idee mal weiter verfolgt?

Zitat:

Meine spontane Idee wäre es jetzt mit dem Log zu arbeiten

02.07.2015, 15:47

Maximilian2222

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ja schon, wobei ich am Ende denke ich mal nur einen x-Wert herauskriege.
Meine Idee war folgende:

1. $\begin{eqnarray*} (x^{2}+4x-3) * log(8) = (8x+3) * log(9) \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} 0,90*(x^{2}+4x-3) = 0,95* (8x+3) \end{eqnarray*}$

3. $\begin{eqnarray*} 0,90x^{2} +3,6x-2,7 = 7,6x + 2,85 \end{eqnarray*}$

Bin ich da auf dem richtigen Weg?

02.07.2015, 15:53

Mathema

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Wieso das? Das läuft doch auf eine quadratische Gleichung hinaus. Und die kann doch wohl durchaus 2 Lösungen erhalten.

Du darfst aber nicht mit einem gerundeten Wert rechnen. Es ist sicherlich:

$\begin{eqnarray*} \lg(8) \neq 0,9 \end{eqnarray*}$

Dein Weg ist aber richtig.

02.07.2015, 16:04

Maximilian2222

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Ok, dann rechne ich den ersten Part am besten mit der Pq-Formel, richtig? Also vorher in Normalform bringen und dann mit der Pq-Formel weiter, oder lieg ich da falsch?

02.07.2015, 16:06

Mathema

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Deine Gleichung in Normalform zu bringen und dann die pq-Formel anzuwenden ist eine fantastische Idee. Freude

02.07.2015, 16:08

Maximilian2222

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Das freut mich schon einmal zu hören smile

! Aber die Pq-Formel kann ich ja nur auf den ersten Part, also vor dem = Zeichen anwenden, oder? Weil hinter dem =Zeichen habe ich ja nur noch 7,6x+2,85

02.07.2015, 16:14

Mathema

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Oje - das meintest du also mit dem ersten Part...

Die Normalform einer quadratischen Gleichung sieht doch so aus:

$\begin{eqnarray*} x^2+px+q=0 \end{eqnarray*}$

D.h. du bringst erstmal alles auf eine Seite, also:

$\begin{eqnarray*} (x^{2}+4x-3) \lg(8) = (8x+3) \lg(9) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lg(8)x^2+4\lg(8)x-3\lg8=8\lg(9)x+3\lg9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lg(8)x^2+4\lg(8)x-8\lg(9)x-3\lg8-3\lg9=0 \end{eqnarray*}$

03.07.2015, 12:25

Maximilian2222

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Vielen Dank noch mal für die Hilfe. Habe es jetzt mal durchgerechnet.
Also die von dir aufgelisteten Schritte zusammengefasst und dann in die Pq-Formel eingesetzt.

Als Ergebnis bekam ich x1=1,11 und x2=-5,51 raus, scheint aber nicht zu stimmen.
Jetzt frage ich mich was ich falsch gemacht habe.. Hättest du noch eine Idee?

03.07.2015, 12:48

klarsoweit

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Leider haben wir hier keine Glaskugel. Du mußt uns also schon verraten, was du gerechnet hast. Augenzwinkern

03.07.2015, 13:13

Maximilian2222

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Also, habe folgendes gerechnet:

$\begin{eqnarray*} x^{2}\cdot log(8)+4x*log(8)-8x*log(9)-3*log(8)-3*log(9) = 0 \end{eqnarray*}$

Zusammengefasst: $\begin{eqnarray*} 0,90x^{2} - 4x - 5,55 = 0 \end{eqnarray*}$

In Normalform gebracht (:0,90) :

$\begin{eqnarray*} x^{2}-4,4x-6,1 = 0 \end{eqnarray*}$

Pq-Formel:

$\begin{eqnarray*} X 1,2 = \frac{-4,4}{2}\pm \sqrt{\left( \frac{-4,4}{2}\right)^{2} - \left(-6,1\right) } \end{eqnarray*}$

Als Ergebnis bekam ich dementsprechend:

x1= 1,11
x2= -5,51

03.07.2015, 13:23

Mathema

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Und dann hast du anscheinend nicht die Probe gemacht - diese hätte nämlich gezeigt, dass deine Ergebnisse nicht stimmen.

03.07.2015, 13:27

Maximilian2222

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Ok, aber wo liegt der Fehler in meiner Rechnung?

03.07.2015, 13:35

Mathema

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} X 1,2 = \frac{\textcolor{red}{-}4,4}{2}\pm \sqrt{\left( \frac{-4,4}{2}\right)^{2} - \left(-6,1\right) } \end{eqnarray*}$

Dort. Zudem hatte ich schon geschrieben, dass nicht mit gerundeten Werten gerechnet wird. Daran hast du dich anscheinend leider nicht gehalten.

03.07.2015, 13:38

Maximilian2222

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Und warum ist das -4,4 falsch?

03.07.2015, 13:40

Mathema

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Wie lautet denn die pq-Formel?

03.07.2015, 13:47

Maximilian2222

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$\begin{eqnarray*} -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2} \right) ^{2} -q } \end{eqnarray*}$

und p steht bei mir ja nun mal für -4,4 ?!

03.07.2015, 13:49

Mathema

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Alles Richtig.

Also:

$\begin{eqnarray*} -\frac{-4,4}{2}=\frac{4,4}{2} \end{eqnarray*}$

03.07.2015, 14:01

Maximilian2222

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Ok habs erneut ausgerechnet, ist aber immer noch falsch scheinbar.

Bekomme jetzt x1 : 5,12 und x2: -0,67 heraus.

Was mache ich denn jetzt wieder falsch?

03.07.2015, 14:05

Mathema

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Das kann ich dir so nicht sagen...

Eigentlich sollte sich nur das Vorzeichen tauschen von deinen Ergebnissen.

Rechnest du mit genauen Werten bekommst du die Lösungen $\begin{eqnarray*} x_1 \approx -1,11 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \approx 5,56 \end{eqnarray*}$ .

Wink

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