Wahrscheinlichkeit zweier Ereignisse verschiedener Normalverteilungen

02.07.2015, 15:51

Molle_GHC

Wahrscheinlichkeit zweier Ereignisse verschiedener Normalverteilungen

Meine Frage:
Ich habe eine Problemstellung mit zwei Normalverteilten Ereignissen. Sagen wir mal:

A:
AvrgA = -0.25
SigmaA = 0.1

B:
AvrgB = 0.1
SigmaB = 0.03

Die Frage ist, wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass A>B ist?

Ich habe es einfach nicht hinbekommen, zu einer analytischen Loesung zu kommen. Zuerst habe ich die Schnittflaeche unter beiden Gauss Kurven berechnet, aber ich glaube nicht, dass das wirklich die Loesung ist. Ich habe mit MATLAB sowas wie eine Monta Carlo Simulation berechnet und das Ergebnis der Simulation ist eine Groessenordung kleiner als das der Schnittflaeche.

[attach]38624[/attach]

Meine Ideen:
Ich habe im Internet etwas mit einem Doppelintegral gefunden, ich weiss aber nicht, wie das hergeleitet wird und auch nicht wie man es
ausrechnet:

$\begin{eqnarray*} <br /> \int_{0}^{\infty } \! g(x_{b}) \left[ \int_{x_{s} }^{\infty } \! f(x_{a}) \, dx_{a} \right] \, dx_{b}<br /> \end{eqnarray*}$

Ausserdem denke ich, dass ich da eine sehr haeufig vorkommende Problemstellung habe, gibt es dafuer einen Begriff nach dem man googeln koennte?

03.07.2015, 08:39

Huggy

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RE: Wahrscheinlichkeit zweier Ereignisse verschiedener Normalverteilungen
Betrachte die Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X=A-B \end{eqnarray*}$ . Gesucht ist dann die Wahrscheinlichkeit für $\begin{eqnarray*} X>0 \end{eqnarray*}$ . Nun gilt:

Sind 2 Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} A, B \end{eqnarray*}$ normalverteilt mit Parametern $\begin{eqnarray*} (\mu_1, \sigma_1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (\mu_2, \sigma_2) \end{eqnarray*}$ , so ist auch deren Summe/Differenz $\begin{eqnarray*} X =A \pm B \end{eqnarray*}$ normalverteiltund zwar mit den Parametern

$\begin{eqnarray*} \mu=\mu_1 \pm \mu_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sigma=\sqrt {\sigma_1^2 + \sigma_2^2} \end{eqnarray*}$

03.07.2015, 08:58

HAL 9000

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Die Voraussetzung "A,B unabhängig" sollte da aber ergänzt werden. Augenzwinkern

08.07.2015, 16:21

Molle_GHC

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Danke fuer die Antwort
Danke euch,

das hat mir echt weitergeholfen. X integriert von null bis ue bringt jetzt das gleiche Ergebnis wie mein Monte Carlo Skript.

Eine Frage rein aus interesse, den Ansatz den ich unten gegeben habe, wuerde der zum gleichen Ergebnis fueren?

Wie loese ich Stueck fuer Stueck dieses Doppelintegral?

Danke,
Robert

08.07.2015, 18:09

HAL 9000

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RE: Danke fuer die Antwort

Zitat:

Original von Molle_GHC
Wie loese ich Stueck fuer Stueck dieses Doppelintegral?

Ich nehme an, du redest von

Zitat:

Original von Molle_GHC
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty } \! g(x_{b}) \left[ \int_{x_{s} }^{\infty } \! f(x_{a}) \, dx_{a} \right] \, dx_{b} \end{eqnarray*}$

,
da sollte zunächst mal das äußere Integral $\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty } \end{align*}$ lauten - wir reden hier über Normalverteilungen!

Letztendlich hilft die Substitution $\begin{align*} t = x_a-x_b \end{align*}$ statt $\begin{align*} x_a \end{align*}$ im inneren Integral. Nach mittellanger Rechnung (mit Vertauschung der Integrationsreihenfolge $\begin{align*} x_b \leftrightarrow t \end{align*}$ ) reift dann die Erkenntnis, dass man es doch besser gleich wie Huggy machen sollte, denn auf nichts anderes läuft eine solche Rechnung letztendlich hinaus. Augenzwinkern

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