Verschoben! Ableitung gebrochen rationale Funktion

03.07.2015, 00:32

gölge

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Ableitung gebrochen rationale Funktion

Meine Frage:
Ich habe folgende, gebrochen Rationale Funktion:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \frac{x^{3}+4x^{2}+5x+2}{x^{2}+x-2} \end{eqnarray*}$

Ich möchte diese Funktion bis zur 2. Ableitung ableiten.
Mein vorgehen ist, mit der Quotientenregel die erste Ableitung zu bilden.
Ich weiss zwar wie man ableitet, allerdings kann ich das einfach nicht zusammenfassen.
Hat irgendjemand eine Methode bzw. einen Tipp für mich, wie ich bei so einer Aufgabe am besten vorgehe, speziell das zusammenfassen?
Ich habe auch keine fertige Lösung dafür, um mein Ergebnis zu kontroliieren.

Meine Ideen:
Quotientenregel

03.07.2015, 00:37

Gast11022013

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Dann schreibe doch mal deine Ableitung hin und fasse zusammen, dann kann man dir auch helfen.

03.07.2015, 00:46

Bjoern1982

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Man könnte auch sehen, dass x=-2 eine gemeinsame Nullstelle des Zähler- und Nennerterms ist, wodurch man schon mal faktorisieren und kürzen könnte (hebbare Lücke).
Auch über eine Polynomdivision (Zählerterm durch Nennerterm) könnte man nachdenken (so lange der Zählergrad nicht kleiner als der Nennergrad ist).

03.07.2015, 10:24

g�ge

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9c3qgk
So weit bin ich:

$\begin{eqnarray*} \frac{3x^{2}+8x+5*(4x^2+x-2)-(x^3+4x^2+5x+2)*(8x+1)}{(4x^2+x-2)^2} \end{eqnarray*}$

Allerdings bräuchte ich eine Methode, wie man soetwas zusasmmenfasst, ohne viel Zeit dabei zu verlieren.

03.07.2015, 10:31

g�ge

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9c3qgk

Zitat:

Original von Bjoern1982
Man könnte auch sehen, dass x=-2 eine gemeinsame Nullstelle des Zähler- und Nennerterms ist, wodurch man schon mal faktorisieren und kürzen könnte (hebbare Lücke).
Auch über eine Polynomdivision (Zählerterm durch Nennerterm) könnte man nachdenken (so lange der Zählergrad nicht kleiner als der Nennergrad ist).

Also, die Aufgabe ist von einer Kurvendiskussion.
Nullstellen des Zählers.
Nullstellen des Nenners -> Polstelle
Nun geht es mir um die Asymptote.
Die Asymptote ist waagerecht.
Mittels Polynomdiviion habe uich x+3 mit einem Rest raus.
Nun geht es mir um die Extremstellen.
Für die Extremstellen muss ich doch die Ableitung der Ausgangsfunktion bilden oder habe ich etwas falsch verstanden?
Das ist gerade mein Problem, mit dme ich euch hier nerve.
Oder kann man die Extremstellen auch anders berechnen?

03.07.2015, 10:39

Bjoern1982

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Zitat:

Nun geht es mir um die Extremstellen.

Na dann kannst du doch deine vorigen Ergebnisse zur Vereinfachung des Funktionsterms (wie von mir oben beschrieben) wunderbar benutzen, denn das könnte das (ansonsten eher unangenehme) Ableiten dann auch erheblich vereinfachen.

Zitat:

Die Asymptote ist waagerecht.

Das Zählergrad>Nennergrad würde ich das anzweifeln.

Edit: Ich habe es gerade mal ausgerechnet, es ergibt sich in der Tat eine fundamentale Vereinfachung des Terms, wodurch die Funktion sehr leicht abzuleiten ist.

Zur Kontrolle:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{4} \cdot (x+3+\frac{4}{x-1}) \end{eqnarray*}$

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03.07.2015, 14:18

gölge

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Sorry, bei der Asymptote habe ich mich verschrieben. Meinte schiefe Asymptote.
Kannst du mir jedoch erklären, wie du auf dein Ergebnis gekommen bist und das weitere vorgehen?
Nullstelle: X1:-1 und X2: -2
Polstelle: X1: 1 und X2: -2
Wie du schon sagtest, doppelte Nullstelle bei -2.
Aber ich gucke mir jetzt erstmal an, wie man Faktorisiert etc.

03.07.2015, 14:21

Bjoern1982

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Du erwähntest doch schon sowas wie:

Zitat:

Mittels Polynomdiviion habe uich x+3 mit einem Rest raus.

Das deckt sich doch mit meinem Kontrollergebnis und sollte dir doch dann bekannt vorkommen oder nicht ? verwirrt

verwirrt

03.07.2015, 14:30

gölge

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Bei meiner Polynomdivision habe ich das raus

$\begin{eqnarray*} x+3+\frac{4x+6}{x^3+4x+5x+2} \end{eqnarray*}$
Ist dies denn richtig?

Heißt das, ich muss den Rest aus der Polynomdivision ableiten?

03.07.2015, 14:40

Bjoern1982

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Der gebrochenrationale Teil scheint mit falsch zu sein, zumindest müsste ja im Nenner auf jeden Fall x²+x-2 stehen.
Im Zähler erhalte ich 4x+8 (du hast wohl den Summanden 2 vergessen mit einzubeziehen) und da kann man dann nochmal faktorisieren in Zähler und Nenner.

03.07.2015, 14:53

gölge

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Den Fehler habe ich gefunden.
Vielen Dank für deine Hilfe, ich habe mich schlicht bei einem Beispiel im Papula verguckt. War wohl gestern etwas spät
Jetzt habe ich auch das gleiche raus wie du.
Ich versuche jetzt mal die Extremstellen zu berechnen, melde mich gleich wieder.
Aber ich habe ne Frage nebenbei.
Nehmen wir an, ich hätte sowas $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} * (4x+6)*(x^3+4x+5x+2) \end{eqnarray*}$
Wie führe hier eine Kurvendiskussion durch.
Bei einer gebrochen rationalen weiss ich es mittlweile.
Hier müsste es ja ähnlich sein, nur fehlt mir ein Ansatz.
Bzw. wie nennt man solche Funktionen, damit ich im Internet recherchieren kann-

03.07.2015, 14:55

Bjoern1982

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} * (4x+6)*(x^3+4x+5x+2) \end{eqnarray*}$

Wenn du noch ein f(x)= davor schreibst, dann bezeichnet man sowas einfach als ganzrationale Funktion.

03.07.2015, 14:57

HAL 9000

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Oder auch Polynomfunktion. Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.07.2015, 18:04

gölge

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Ist die 2. Ableitung von mir richtig?

f'= $\begin{eqnarray*} x+3+ \frac{4}{x-1} \end{eqnarray*}$

Summenregel:
$\begin{eqnarray*} x+3 = 1 \end{eqnarray*}$

Quotientenregel anwenden:

$\begin{eqnarray*} \frac{4}{(x-1)^2} \end{eqnarray*}$

Ergebnis:

f''= $\begin{eqnarray*} 1+\frac{-4}{(x-1)^2} \end{eqnarray*}$

03.07.2015, 18:24

gölge

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Laut Ableitungsrechner ist das Endergebnis richtig.
Nun muss ich, um die Extrema zu berechnen,
die Nullstellen der ersten Ableitung in die 2. Einsetzen.
Wie berechne ich aber die Nullstellen der ersten Ableitung?
Im Zähler ist ja kein x, was mach ich da?
Heißt das, es gibt keine Nullstelle?
Falls ja, wie berechnet man dann die Extrema?

03.07.2015, 18:54

gölge

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Meinen vorletzen Post bitte ignorieren, habe da fehler bei, deshlab jetzt nochmal

f(x)

$\begin{eqnarray*} x+3+\frac {4} {x-1} \end{eqnarray*}$

f ' (x)

$\begin{eqnarray*} 1-\frac {4} {(x-1)^2} \end{eqnarray*}$

f " (x)

$\begin{eqnarray*} \frac {-8}{(x-1)^3} \end{eqnarray*}$

Nun muss ich, um die Extrema zu berechnen,
die Nullstellen der ersten Ableitung in die 2. Einsetzen.
Wie berechne ich aber die Nullstellen der ersten Ableitung?
Im Zähler ist ja kein x, was mach ich da?
Heißt das, es gibt keine Nullstelle?
Falls ja, wie berechnet man dann die Extrema?

03.07.2015, 19:13

Mi_cha

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wenn ich einspringen darf:

Doch, es gibt Extrema. Bringe bei der ersten Ableitung alles auf einen Bruch oder berechne $\begin{eqnarray*} \frac {4}{(x-1)^2}=1. \end{eqnarray*}$
Deine zweite Ableitung stimmt nicht ganz. Das Minus im Zähler ist zuviel.

03.07.2015, 23:26

gölge

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Zitat:

Original von Mi_cha
wenn ich einspringen darf:

Doch, es gibt Extrema. Bringe bei der ersten Ableitung alles auf einen Bruch oder berechne $\begin{eqnarray*} \frac {4}{(x-1)^2}=1. \end{eqnarray*}$
Deine zweite Ableitung stimmt nicht ganz. Das Minus im Zähler ist zuviel.

$\begin{eqnarray*} \frac {4}{(x-1)^2}=1. \end{eqnarray*}$

Kriege da für X1: 1,5
X2: 0,5

Aber das sfühlt sich sehr verkehrt an

03.07.2015, 23:45

Mi_cha

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das ist auch verkehrt.

Nach einer kleinen Umformung kommst du auf

$\begin{eqnarray*} 4=(x-1)^2 \end{eqnarray*}$

Nun die Wurzel ziehen und du erhältst die zwei richtigen Lösungen.

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