M-B Geschwindigkeistverteilung. häufigste

03.07.2015, 09:44

_Montanist

M-B Geschwindigkeistverteilung. häufigste

Aufgabe: Die Maxwell-Boltzmann'sche Geschwindigkeitsverteilung hat die Form

$\begin{eqnarray*} f_{MB}(v)=4*\pi*v^{2}*(\frac{m}{2*\pi*k*T}) ^{\frac{3}{2} }*e^{-\frac{m*v^{2} }{2*k*T} } \end{eqnarray*}$

Berechnen Sie explizit die am häufigsten vorkommende Geschwindigkeit.

Idee: An sich ja nicht schwer 1. Ableitung und 0 setzen. Maxima bestimmen= häufigste. Die Lösung der häufigsten kenne ich nur sollte ich das ja jetzt auch mathematisch zeigen. und irgendwo hab ich da einen großen Ableitungsfehler und muss den immer und immer wieder wiederholen.

$\begin{eqnarray*} f_{MB}(v)=4*\pi*v^{2}*(\frac{m}{2*\pi*k*T}) ^{\frac{3}{2} }*e^{-\frac{m*v^{2} }{2*k*T} } Konstante: 4*\pi*(\frac{m}{2*\pi*k*T}) ^{\frac{3}{2} }= K \Rightarrow f_{MB}(v)= K*\frac{v^{2} }{e^{\frac{m*v^{2} }{2*k*T} } } Quotientenregel f'_{MB}(v)=K*(\frac{2*v*e^{\frac{m*v^{2} }{2*k*T} }-\frac{m*v}{k*T}*e^{\frac{m*v^{2} }{2*k*T} }*v^{2} }{e^{\frac{2*m*v^{2} }{2*k*T} }}) \end{eqnarray*}$

glaube da habe ich schon einen Fehler weil ein v³ sich ergibt... kommt mir etwas komisch vor!
bitte um mithilfe falls es stimmt müsste man das jetzt 0 setzen nur da komme ich nicht auf die richtige lösung. Also bitte ich um Hilfe

03.07.2015, 09:52

HAL 9000

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Bisher scheint alles zu stimmen - auch wenn ich nicht verstehe, warum du dich mit der Quotienten- statt der einfacheren Produktregel quälst.

Klammere einfach noch $\begin{align*} v\cdot e^{-\frac{mv^2}{2kT}} \end{align*}$ aus, dann verbleibt nur noch $\begin{align*} v^2 \end{align*}$ statt $\begin{align*} v^3 \end{align*}$ in der Klammer.

03.07.2015, 09:52

_Montanist

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hab mir das jetzt nochmals angeguckt und habe jetzt eine lösung die ja stimmt.

Lösungsweg:
den e term rausheben und v. Nenner kann ich wegstreichen (0/nenner)

$\begin{eqnarray*} K*v*e^{\frac{m*v^{2} }{2*k*T} }(2-v^{2}*\frac{m}{k*t}=0 \Rightarrow 2-v^{2}*\frac{m}{k*t})=0 \Rightarrow v=\sqrt{\frac{2*k*T}{m} } \end{eqnarray*}$

was ja die richtige Lösung ist. stimmt jetzt alles?

03.07.2015, 09:54

_Montanist

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Zitat:

Original von HAL 9000
Bisher scheint alles zu stimmen - auch wenn ich nicht verstehe, warum du dich mit der Quotienten- statt der einfacheren Produktregel quälst.

Klammere einfach noch $\begin{align*} v\cdot e^{-\frac{mv^2}{2kT}} \end{align*}$ aus, dann verbleibt nur noch $\begin{align*} v^2 \end{align*}$ statt $\begin{align*} v^3 \end{align*}$ in der Klammer.

i know aber ich hasse produkregel mit -exponenten den übersehe ich so oft dass ich länger brauche wenn ich es mit der produktregel mache weil ich es dann meist min 2 differenzieren muss Big Laugh

03.07.2015, 10:01

HAL 9000

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Die Erklärung für die Favorisierung von Quotienten- statt Produktregel muss ich ja nicht verstehen - jedenfalls stimmt $\begin{eqnarray*} v = \sqrt{\frac{2*k*T}{m}} \end{eqnarray*}$ . smile

Die andere lokale Extremstelle v=0, die sich mit dieser Ableitung ja auch ergibt, ist physikalisch nicht von Bedeutung.

03.07.2015, 10:12

_Montanist

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nein musst du nicht verstehen Big Laugh

herzlichen dank für die hilfe ja v=0 ist klar das sich daraus auch ergibt aber hab ich gleich weggelassen.

Herzlichen Dank nochmal für die schnelle hilfe!

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