Grenzwert

03.07.2015, 10:40

Kimiwinieh

Grenzwert

Meine Frage:
Hallo. Ich soll den nachfolgenfolgenden Grenzwert bestimmen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt{-e^{\frac{\pi i}{n}}} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{-e^{\frac{\pi i}{n}}} = \sqrt{e^{i(\frac{\pi}{n}-\pi)}} = e^{i \frac{arg(e^{i(\frac{\pi}{n}-\pi)}}{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{i(\frac{\pi}{n}-\pi)\frac 12} \rightarrow e^{-i \frac{\pi}{2}} = -i \end{eqnarray*}$

Ich verstehe leider keinen Schritt. Die Komplexe Rechnung habe ich wegen gesundheitlichen Problem verpasst und es zieht sich jetzt irgendwie unglücklich

Ich wäre überaus dankbar für Unterstützung.

Kim

03.07.2015, 10:58

HAL 9000

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Zunächst mal solltest du dir darüber im klaren sein, dass hier mit $\begin{align*} z=\sqrt{a} \end{align*}$ der Hauptwert der komplexen Wurzel gemeint ist, d.h. von den beiden Lösungen der Gleichung $\begin{align*} z^2=a \end{align*}$ diejenige mit Argument im Intervall $\begin{align*} \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] \end{align*}$ .

Das ist der entscheidende Knackpunkt hier, dass man in dieser Frage sorgfältig vorgeht.

03.07.2015, 12:34

Kimiwinieh

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Das verstehe ich nicht, die Definition der komplexen Wurzel wurde ja in Schritt 3 verwendet. Worauf du aber hinaus willst ist mir nicht klar. Kannst du es vielleicht von einer anderen Seite "beleuchten"?

Kim

03.07.2015, 14:17

HAL 9000

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Zitat:

Original von Kimiwinieh
Das verstehe ich nicht, die Definition der komplexen Wurzel wurde ja in Schritt 3 verwendet.

Na von mir aus auch so, dann musst du dich eben mal mit dem Wertebereich der Argumentfunktion $\begin{align*} \operatorname{arg} \end{align*}$ befassen! Man hätte z.B.

$\begin{align*} \sqrt{-e^{\frac{\pi i}{n}}} = \sqrt{e^{i\left(\frac{\pi}{n}{\color{red}+}\pi\right)}} = e^{i\frac{\operatorname{arg}\left(e^{i\left(\frac{\pi}{n}+\pi\right)}\right)}{2}} \end{align*}$

schreiben können, auch richtig - wäre angesichts des bekannteren $\begin{align*} -1=e^{\pi i} \end{align*}$ vielleicht sogar der im ersten Moment naheliegendere Zugang gewesen. Als nächster Schritt käme dann

$\begin{align*} \operatorname{arg}\left(e^{i\left(\frac{\pi}{n}+\pi\right)}\right) = \frac{\pi}{n}-\pi \end{align*}$ ,

den Schritt musst du inhaltlich begreifen!!!

P.S.: Es ist schwierig zu verstehen, welche Schritte du kapiert hast und welche nicht. Einerseits listest du den gesamten Lösungsweg unter "Meine Ideen" auf (offensichtlich nicht) und betonst, dass du "keinen Schritt" verstehst. Andererseits hast du aber doch verstanden, dass dort die Definition des Wurzelhauptwertes verwendet wird. So nach dem Motto: Ich stell mich mal ganz dumm mit diesem "keinen Schritt verstanden", soll sich doch der Helfer ausführlichst abarbeiten - so eine Haltung finde ich zum Kotzen

05.07.2015, 12:21

Kimiwinieh

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Zitat:

Original von HAL 9000
Na von mir aus auch so, dann musst du dich eben mal mit dem Wertebereich der Argumentfunktion $\begin{align*} \operatorname{arg} \end{align*}$ befassen! Man hätte z.B.

$\begin{align*} \sqrt{-e^{\frac{\pi i}{n}}} = \sqrt{e^{i\left(\frac{\pi}{n}{\color{red}+}\pi\right)}} = e^{i\frac{\operatorname{arg}\left(e^{i\left(\frac{\pi}{n}+\pi\right)}\right)}{2}} \end{align*}$

schreiben können, auch richtig - wäre angesichts des bekannteren $\begin{align*} -1=e^{\pi i} \end{align*}$ vielleicht sogar der im ersten Moment naheliegendere Zugang gewesen. Als nächster Schritt käme dann

$\begin{align*} \operatorname{arg}\left(e^{i\left(\frac{\pi}{n}+\pi\right)}\right) = \frac{\pi}{n}-\pi \end{align*}$ ,

den Schritt musst du inhaltlich begreifen!!!

Tut mir leid. Anfangs hatte ich keinen Ahnung, da erkannte ich die Verwendung des komplexen Wurzelziehens.

Mir sind die ersten Umformungsschritte nicht verständlich. Wir multiplizieren ja unter der Wurzel mit $\begin{align*} 1=-e^{\pi i} \end{align*}$ . Ich kann jedoch nicht nachvollziehen warum?

Der anschließende Schritt ist dann verständlich, das komplexe Wurzelziehen. Die Definition schreibe ich nicht auf, die Formel und vorangehensweise ist mir verständlich, in dem Schritt.

$\begin{align*} \operatorname{arg}\left(e^{i\left(\frac{\pi}{n}+\pi\right)}\right) = \frac{\pi}{n}-\pi \end{align*}$

Die Gleichheit kann ich nicht nachvollziehen. Bekannt ist ja $\begin{align*} 1=-e^{\pi i} \end{align*}$

Werte kann die Argumentfunktion ja zwischen $\begin{align*} \left(-\pi,\pi\right] \end{align*}$ annehmen.

Ich hoffe ich konnte ein wenig meine Sichtweise besser klarstellen, gänzlich Null Ahnung habe ich ja nicht, habe momentan eine schwierige private Phase im Leben, bitte dies zu entschuldigen unglücklich

Sowas tut auch weh, ich wollte nicht dass es so negativ herüberkommt. Ich danke, aber für die Antworten.

Kim

05.07.2015, 13:04

HAL 9000

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Anscheinend fehlt es an den elementarsten Grundlagen... Hoffentlich kennst du wenigstens die Polardarstellung einer komplexen Zahl:

Ist $\begin{align*} z = re^{\varphi i} \end{align*}$ die Polardarstellung sowie $\begin{align*} \varphi\in (-\pi,\pi] \end{align*}$ , so nennt man $\begin{align*} \varphi \end{align*}$ das Argument der komplexen Zahl $\begin{align*} z \end{align*}$ , kurz: $\begin{align*} \varphi = \operatorname{arg}(z) \end{align*}$ .

Zitat:

Original von Kimiwinieh
Wir multiplizieren ja unter der Wurzel mit $\begin{align*} 1=-e^{\pi i} \end{align*}$ . Ich kann jedoch nicht nachvollziehen warum?

Um den Radikanden in eben jene Polarform zu überführen, also in jene Form $\begin{align*} re^{\varphi i} \end{align*}$ mit $\begin{align*} r>0 \end{align*}$ , da hat das "Minus" keinen Platz und muss passend ersetzt werden, eben durch jenes $\begin{align*} -1=e^{\pi i} \end{align*}$ .

Zitat:

Original von Kimiwinieh
$\begin{align*} \operatorname{arg}\left(e^{i\left(\frac{\pi}{n}+\pi\right)}\right) = \frac{\pi}{n}-\pi \end{align*}$
Die Gleichheit kann ich nicht nachvollziehen.

Wieder zurück nach oben zur Argumentdefinition: Wir suchen das Argument der komplexen Zahl in Polardarstellung $\begin{align*} z=1\cdot e^{i\left(\frac{\pi}{n}+\pi\right)} \end{align*}$ , also mit $\begin{align*} r=1 \end{align*}$ . Nun kann man aber nicht sagen, dass das Argument dieser Zahl gleich $\begin{align*} \frac{\pi}{n}+\pi \end{align*}$ ist, denn dieser Winkel liegt außerhalb des Intervalls $\begin{align*} \varphi\in (-\pi,\pi] \end{align*}$ .

Was ist nun zu tun? Nun, die komplexe Exponentialfunktion ist periodisch mit Periode $\begin{align*} 2\pi i \end{align*}$ , d.h., liegt so ein Winkel wie bei uns außerhalb des Wunschintervalls, so kann man ganzzahlig Vielfache von $\begin{align*} 2\pi \end{align*}$ so addieren bzw. subtrahieren, dass man doch in diesem Intervall landet. Im Fall hier hilft Subtraktion von $\begin{align*} 2\pi \end{align*}$ , d.h., es ist

$\begin{align*} \frac{\pi}{n}+\pi - 2\pi = \frac{\pi}{n}-\pi \in (-\pi,\pi] \end{align*}$ ,

also folgt aus eben jener Periodizität der Exponentialfunktion

$\begin{align*} \operatorname{arg}\left(e^{i\left(\frac{\pi}{n}+\pi\right)}\right) = \operatorname{arg}\left(e^{i\left(\frac{\pi}{n}-\pi\right)}\right) = \frac{\pi}{n}-\pi \end{align*}$ .

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