DGL der Form y'=f(t)+y lösen |
| 03.07.2015, 14:29 | 94Alohab | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| DGL der Form y'=f(t)+y lösen Ich möchte die DGL y' = -2y-t^2 lösen' aber ich weiß nicht wie. Trennung der Veränderlichen fällt ja flach, weil es kein Produkt ist. Mir fällt jetzt noch Substitution ein, aber wenn ich die rechte Seite substituiere , dann hilft mir das beim weiteren Vorgehen nicht richtig weiter. Am Ende steht dann da.: 2(dy/dt) = -(u'+ 2t). Ich würde diesen Term gerne schön machen, um ihn dann einfach zu lösen, stehe aber auf dem Schlauch. Kann mir jemand helfen? Liebe Grüße |
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| 03.07.2015, 14:32 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sagt dir der Zusammenhang etwas, dass sich die Gesamtlösung der DGL aus der homogen und einer speziellen Lösung ergibt ? |
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| 03.07.2015, 14:45 | 94Alohab | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo, ja ich weiß, dass es eine allgemeine und eine partikuläre Lösung gibt. Erstere ist sozusagen eine Kurvenschar und letztere entsteht durch eine Anfangsbedingung. Das ist das, was ich bisher weiß. Was meinst du genau mit der Gesamtlösung. |
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| 03.07.2015, 14:53 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Naja wenn du die homogene DGL löst und eine spezielle Lösung bestimmst, dann bist du wegen fertig. Das wäre hier eine übliche Vorgehensweise. Ich würde damit anfangen, zuerst die homogene DGL, also y'+2y=0 zu lösen. |
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| 03.07.2015, 15:08 | 94Alohab | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hier habe ich jetzt raus, dass y = 2e^t + c ist. Kann ich das jetzt einfach mit -t^2 gleichsetzen? Ich versteh das Prinzip der Gesamten Lösung nicht so richtig. Ich dachte es gibt nur eine allgem. Lösung und wenn man der Anfangsbedingungen gibt, dann gibt's eine partikuläre Lösung. Warum sollte ich jetzt beide Lösungen addieren? |
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| 03.07.2015, 16:48 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Und wofür ? Die homogene Lösung ist das jedenfalls nicht. Ich weiß ja nicht welche Methoden ihr in der Vorlesung behandelt/bewiesen habt, von daher kann ich auch nur raten und dir eben eine Möglichkeit nennen. Möglich wäre hier im Anschluss an die homogene Lösung, natürlich auch die Methode namens "Variation der Konstanten", falls dir das mehr sagt. Ohne zusätzliche Bedingungen (AWP), hat diese DGL natürlich unendlich viele Lösungen. |
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| 03.07.2015, 18:23 | 94Alohab | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mal davon abgesehen, dass meine *Lösung* eigentlich c* 2e^t für den Homogenen Teil heißen muss: kann ich aufgrund des Superpositionsprinzips die beiden Gleichungen addieren? Im Skript und auf Wikipedia finde ich nur unnötig verkompliziert ausgedrückte Texte dazu bzw. verstehe die Gleichungen nicht. Danke bisher für deine Vorschläge 
Achja, ich soll dazu kein Anfangswertproblem lösen |
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| 04.07.2015, 12:59 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nicht die Gleichungen, aber das wäre in der Tat eine Begründung zum erwähnten Ansatz mit Selbst wenn dir die Erklärungen im dazu passenden Wiki-Artikel zu kryptisch sind, dann spring von mir aus zu den Beispielen, denn diese gibt es in dem Artikel zu Genüge: https://de.wikipedia.org/wiki/Superposition_%28Mathematik%29
Auch das ist leider falsch, was du durch Einsetzen in y'+2y=0 auch leicht sehen kannst. Die zu lösende Integralgleichung (für die homogene Lösung) ist im Endeffekt . Bei dir auch ? |
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| 04.07.2015, 16:57 | 94Alohab | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja das ist bei mir auch so, ich weiß auch nicht was da schiefgelaufen ist. Wenn man das jetz forführt, dann steht da ln(y) = -2t +c <=> y= K * e^-2t. Das wäre dann die allgemeine Lösung für den homogenen Teil. Macht es jetzt Sinn durch Variation der Konstanten weiterzumachen? Du hast das in einem Post angemerkt, zu dem Zeitpunkt wusste ich aber nicht, was das ist. Jetz, wo ich y kenne, kann ich mir ja die e-Funktion zu Nutze machen und ganz einfach ableiten und beide Funktionen in die gegebene Gleichung einsetzen und so K(x) ausrechnen. Ist die Idee brauchbar? Ich frage deshalb so komisch, weil ich meine Wissensstückchenzu DGL mal verknüpfen muss und deshalb möglichst wenig falsche Rechenwege im Kopf haben möchte. Liebe Grüße |
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| 04.07.2015, 22:50 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das sieht doch gut aus. 
Und ja, jetzt könnte man die Methode "Variation der Konstanten" benutzen. Ich würde behaupten, dass wäre hier so der übliche Weg. Also die homogene Lösung mit der Produktregel ableiten und dann alles in die Ausgangs-DGL einsetzen und nach K auflösen. |
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