Inhomogene Dgl 2. Ordnung Hängendes Seil

03.07.2015, 17:17

Widderchen

Inhomogene Dgl 2. Ordnung Hängendes Seil

Meine Frage:
Hallo,

ich benötige hilfe beim Lösen dieser Aufgabe:

Die Differ.gl. für die Höhe eines hängenden Seiles y(x), dessen Enden bei x = -a und x = a (a > 0) in der gleichen Höhe h befestigt sind, lautet:

$\begin{eqnarray*} (y'')^2 = k^2 \cdot (1 + (y')^2) \end{eqnarray*}$ .

Bestimme y(x).

Meine Ideen:
zunächst habe ich die homogene lösung dieser Dgl bestimmt, indem ich die substitution z(x) = y'(x) angesetzt hatte. Ich erhalte nach Varialentrennung und Rücksubstitution die Lösung

$\begin{eqnarray*} y_h (x) = C e^{\pm kx} \end{eqnarray*}$ . Stimmt dieser Lösungsansatz soweit??

anschließend muss die partikuläre Lösung bestimmt werden. Wende dazu die Variation der Konstanten C(x) an. die Ableitungen lauten:

$\begin{eqnarray*} y_p '(x) = (C(x) \pm k C(x))e^{\pm kx} \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} y_p ''(x) = (C''(x) \pm 2k C'(x) + k^2 C(x))e^{\pm kx} \end{eqnarray*}$ .

Stimmt das soweit? Nun müsste ich diese Lösung in die Dgl einsetzen und nach C(x) auflösen, allerdings wird dies problematisch, da ich dann Ableitungen bis zur zweiten Ordnung von C(x) in der Gleichung stehen habe, sprich ich erhalte erneut eine differentialgleichung 2. Ordnung!!!

Das kann aber doch nicht stimmen.

ich hoffe, ihr könnt mir behilflich sein.

Viele grüße
Widderchen

03.07.2015, 17:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von Widderchen
zunächst habe ich die homogene lösung dieser Dgl bestimmt

Ich verstehe nicht, was du damit meinst: Homogene Lösungen machen nur Sinn bei linearen (!) DGL. Eine solche liegt hier nicht vor, weder in Bezug auf $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ noch auf $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ .

"Trennung der Variablen" wäre eine Möglichkeit zur Lösung der $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ -DGL.

03.07.2015, 17:41

Widderchen

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Hallo,

stimmt, diese Dgl. ist gar nicht linear. Hammer

Aber wie löse ich diese nun? Aber wenn ich k^2 als inhomogenen Term vernachlässige, erhalte ich doch eine homogene Dgl. oder nicht??

$\begin{eqnarray*} (y'')^2 = k^2 (y')^2 \rightarrow y'' = \pm k y' \end{eqnarray*}$ .

Irgendwie verwirrt mich diese Aufgabe.

Viele Grüße
Widderchen

03.07.2015, 17:42

HAL 9000

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Mit $\begin{align*} z=y' \end{align*}$ geht es um die nichtlineare DGL $\begin{align*} z'^2 = k^2(1+z^2) \end{align*}$ , was nach Wurzelziehen und Trennung der Variablen zu

$\begin{align*} \frac{z'}{\sqrt{1+z^2}} = \pm k \end{align*}$

führt - jetzt integrieren!

Zitat:

Original von Widderchen
Aber wenn ich k^2 als inhomogenen Term vernachlässige, erhalte ich doch eine homogene Dgl. oder
nicht??

Ich weiß nicht, woher du diesen deinen Irrglauben hast, also lass mich mal deutlich feststellen: Die Lösungstheorie von linearen DGL hinsichtlich der Verfahrensweise
- Lösung homogene DGL
- Finden einer partikulären Lösung der inhomogenen DGL
- Superposition dieser beiden gefundenen Lösungen
kannst du für nichtlineare DGL vollständig in die Tonne treten - sie funktioniert hier schlicht nicht!!!

P.S.: Ich nehme an, es ist k>0. Da es um ein hängendes Seil geht, hat es konvexe Form mit dann $\begin{align*} y'' = z' > 0 \end{align*}$ , also macht nur der Plus-Zweig Sinn, d.h.

$\begin{align*} \frac{z'}{\sqrt{1+z^2}} = k \end{align*}$ .

Der Minus-Zweig beschreibt einen nach oben gewölbten Bogen, also kein durchhängendes Seil. Augenzwinkern

03.07.2015, 18:03

Widderchen

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Ok, vielen Dank für deine Hilfe.

ich erhalte durch Integration:

$\begin{eqnarray*} z(x) = \sinh( \pm kx + C_1) \end{eqnarray*}$ und damit durch weitere Integration (um y(x) zu erhalten):

$\begin{eqnarray*} y(x) = \pm \frac{ 1}{k} \cosh( \pm kx + C_1) + C* \end{eqnarray*}$ .

Ist dies soweit korrekt?

Viele Grüße
Widderchen

03.07.2015, 18:05

HAL 9000

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Ja. Ich hatte gerade eben noch meinen Beitrag editiert, so dass du die Minus-Option loswirst - vereinfacht die Dinge etwas.

03.07.2015, 18:06

Widderchen

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Alles klar, danke sehr!! Freude

Widderchen

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