Bewegungsgleichung Fadenpendel erste Ableitung

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03.07.2015, 18:33	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Bewegungsgleichung Fadenpendel erste Ableitung Meine Frage: Hallo, gegeben sei die differentialgleichung $\begin{eqnarray} \ddot{\phi} = - \omega^2 sin(\phi) \end{eqnarray}$ Bestimme die erste zeitliche Ableitung von Phi für den fall, dass $\begin{eqnarray} \dot{\phi} = 0 \,\,\, wenn \,\,\, \phi = \frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ . Drücke die Funktion $\begin{eqnarray} t(\phi) \end{eqnarray}$ durch ein Integral aus. Meine Ideen: Ich hätte die differentialgleichung nach t integriert, aber was ist $\begin{eqnarray} - \omega^2 sin(\phi) \end{eqnarray}$ nach t integriert?? Denn Phi ist eine von t abhängige funktion. Muss ich vielleicht die Reihendarstellung der sinus-Funktion betrachten?? viele Grüße Widderchen
03.07.2015, 19:17	rg	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bewegungsgleichung Fadenpendel erste Ableitung Multipliziere beide Seiten der DGl mit $\begin{eqnarray} \dot\phi \end{eqnarray}$ . Dann kannst Du sie einmal nach t integrieren.
03.07.2015, 19:29	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo, ok, Multiplikation mit der ersten Ableitung von Phi liefert: $\begin{eqnarray} \dot{\phi} \ddot{\phi} = - \omega^2 sin(\phi) \dot{\phi} \end{eqnarray}$ . Durch partielle Integration und "Kürzen" des Integraloperators dt erhalte ich dann: $\begin{eqnarray} \dot{\phi}^2 - \dot{\phi} = \omega^2 \cos(\phi) \end{eqnarray}$ . Ist das korrekt?? Viele Grüße Widderchen
03.07.2015, 19:42	rg	Auf diesen Beitrag antworten »
Die linke Seite stimmt natuerlich nicht. Was ist $\begin{eqnarray} {d\over dt}(\dot\phi)^2 \end{eqnarray}$ ?
03.07.2015, 19:55	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ähm, das müsste gemäß Kettenregel $\begin{eqnarray} 2 \ddot{\phi} \dot{\phi} \end{eqnarray}$ sein, oder nicht?? Wie kommst du überhaupt auf diesen Ausdruck?? Viele grüße Widderchen
03.07.2015, 20:05	rg	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie ich drauf komme? Du must ja eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray} \dot\phi\ddot\phi \end{eqnarray}$ finden. Da passt das doch gut. Was also ist dann $\begin{eqnarray} \int\dot\phi\ddot\phi\,dt \end{eqnarray}$ ?
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03.07.2015, 20:16	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber natürlich! $\begin{eqnarray} 0.5 \frac{d}{dt} (\dot{\phi})^2 = \dot{\phi} \ddot{\phi} \end{eqnarray}$ . Ich erhalte also: $\begin{eqnarray} \dot{\phi} = \sqrt{2 \omega^2 \cos(\phi)} \end{eqnarray}$ Vielen Dank soweit! Widderchen
03.07.2015, 20:29	rg	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst Dir aber noch Gedanken ueber die Integrationskonstante machen. Auch die Frage nach dem Vorzeichen der Wurzel ist einen weiteren Gedanken wert.
03.07.2015, 21:41	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, also lautet die Lösung: $\begin{eqnarray} \dot{\phi} = \pm \sqrt{2 (\omega^2 \cos(\phi) + C)} \end{eqnarray}$ , oder?? Viele Grüße Widderchen
03.07.2015, 22:05	rg	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Integrations-Konstante kommt von der ersten Integration nach der Zeit, steht also unter der Wurzel, nicht dahinter. Die musst Du so waehlen, dass die Vorgabe $\begin{eqnarray} \dot\phi(\pi/2)=0 \end{eqnarray}$ erfuellt ist. Das bedeutet offensichtlich, dass das Pendel zur Zeit $\begin{eqnarray} t=0 \end{eqnarray}$ mit der Maximalauslenkung von $\begin{eqnarray} \phi=\pi/2 \end{eqnarray}$ losgelassen wird. Wenn Du Dir ueberlegst, wie sich das Pendel dann verhaelt, kannst Du das richtige Vorzeichen fuer die Wurzel finden. Es aendert sich offensichtlich nach jeder Halbperiode.
03.07.2015, 22:49	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich diese beiden Bedingungen einsetze, dann erhalte ich doch: C = 0 , da $\begin{eqnarray} \cos(\pi /2) = 0 \end{eqnarray}$ gilt. Die Idee mit dem Vorzeichen habe ich noch nicht ganz verstanden. Wenn ich eine Auslenkung von 90° mit Wineklgeschwindigkeit "0" habe, das entspricht also der ausgelenkten Lage, kurz bevor das Pendel losgelassen wird, dann ist das doch Definitionssache, welches Vorzeichen ich wähle. Halt, Moment mal, die Kosinusfunktion ist doch symmetrisch, d.h. es muss ein positives Vorzeichen gewählt werden. oder irre ich mich erneut?? Viele Grüße Widderchen
03.07.2015, 23:24	rg	Auf diesen Beitrag antworten »
Moechtest Du damit etwa sagen, Du wusstest die ganze Zeit, dass C=0 sein muss, oder ist es nicht vielmehr so, dass Du an die Intergrationskonstante gar nicht gedacht hast? Es ist C=0, weil die Maximalauslenkung gerade 90° ist. Ansonsten waere das nicht so. Du kannst das ja auch mal fuer 45° aufschreiben. Wegen der Definitionssache: Am besten haelt man sich an die uebliche Definition, anstatt zur eigenen Verwirrung eine andere zu benutzen. Also werden Winkel im Gegenuhrzeigersinn gemessen. Referenz ist die Ruhelage des Pendels. Wenn die Anfangslage also bei 90° ist (rechts von der Ruhelage), dann nimmt der Winkel in der ersten Halbperiode bis -90° ab. Was heisst das fuer die Winkelgeschwindigkeit? Was passiert mit der Winkelgeschwindigkeit in der zweiten Halbperiode, wenn das Pendel wieder zurueckschwingt?
03.07.2015, 23:50	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Da das Pendel von rechter Ausgangslage nach links schwingt, hat die Winkelgeschwindigkeit zu Beginn ein negatives Vorzeichen (gemäß des mathematisch definierten Drehsinns im Uhrzeigersinn!). Denn die Geschwindigkeit ist Tangential zum ausgerichteten Auslenkungswinkel. Wenn das Pendel zurückschwingt, nimmt die Geschwindigkeit dann ein positives Vorzeichen an. Ich hoffe, das stimmt soweit. Schließlich muss ich noch t in Abhängigkeit von Phi darstellen. Ich vermute, dies geschieht, indem ich die Variablen separiere, sodass ich auf der einen Seite einen Ausdruck für t erhalte. Viele Grüße Widderchen
04.07.2015, 00:56	rg	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt soweit. $\begin{eqnarray} \dot\phi=-\omega\sqrt{2\cos\phi} \end{eqnarray}$ gilt, waehrend das Pendel von rechts nach links schwingt, $\begin{eqnarray} \dot\phi=+\omega\sqrt{2\cos\phi} \end{eqnarray}$ gilt, waehrend das Pendel von rechts nach links schwingt. Jetzt musst Du Dich bloss noch entscheiden, aus welcher Gleichung Du $\begin{eqnarray} t(\phi) \end{eqnarray}$ wie ausrechnen willst. Separation ist gut.

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